R„K, iy(R.-i

La première diverge si ¥{x) est infini pour x = 0 ; la seconde converge si ¥{x) est borné pour x = 0 (*).

6. Cas particuliers du théorème précédent : Si a est positif,

:j7- diverge, i — --— converge.

S\n Jt<?i— 1 ^

7. Soit M« un nombre positif qui croit constamment avec ;/ ; on forme l'expression

I , M„ — M«-i Log

M„ '' Un

Si cette expression devient définitivement supérieure à un nombre positif fixe a, la série Sm„ converge ; elle diverge au contraire si l'expression devient inférieures un nombre négatif.

(*) Théorèmes publiés d'abord dans la première édition de ce Cours (igoS). Voir aussi Denjoy, Sur quelques propriétés des séries à termes positifs. Bulletin de la Soc. Math, de France, t. XI, 1912.

4o8 CHAPITRÉ XI. DES SERIES

R. Dans le premier cas, on a, en effet,

Un < (M„ — M«i)e-M« a < ^-«-^ dx,

ce qui est le terme général d'une série convergente. Le second cas se traite d'une manière analogue.

8. lîoient Pj, Po,... P« ... des nombres positifs quelconques, la série !'«« sera convergente si l'expression

Log(P„w„)

Pi P. ^ ^ P„

devient définitivement inférieure à un nombre négatif fixe.

Ce critère de première espèce, le plus général que l'on puisse former, n'est qu'une autre forme de la règle précédente.

g. Si 11,2 est constamment décroissant, la condition lim nu„ = 0 est nécessaire pour que la série positive ^ttn soit convergente. R. On considère l'inégalité

11,2 + Jh2+i + ••, + ««+/ > pi(n+ji = — -— (n + p) Un^p

et l'on applique le caractère général de convergence.

lo. Plus généralement, si la suite positive p-i, [-«-o,.., p-« ,... est choisie de manière que u,i :>«soit non croissant et tende vers 0, la condition