J-i + 1-^2 + •.. + IJ
lim — Un = 0
est nécessaire pour que la série positive Sm« soit convergente. R. En posant a„ -= u» : !■>•« l'expression proposée s'écrit
Imi — Uy-\ «2 + ... H u,i-i + lUi
elle s'obtient donc en multipliant les termes de -;/„ par des facteurs tous < I et qui tendent tous vers 0, d'où le théorème.
Si l'on lait \i.n — n^ puis [j.,, = -, on obtient les cas particuliers suin vants :
jo S'il existe un nombre positif/, indépendant de n, tel que m« : «-^'soit non croissant, la condition lim nun == 0 esfencore nécessaire pour que la série soit convergente.
2° Si nun est non croissant, la condition, lim {n log «)//« =^ 0 est nécessaire pour que la série soit convergente (Lasker) (*). Généraliser.
(*) Philos. Trans. London 196 A (1901) p. 460.
§ 2. Séries numériques quelconques.
Opérations sur les séries.
367. Séries absolument convergentes. — Une série à termes réels ou complexes est absolument convergente si elle converge après cxu'on a remplacé chaque terme par son module.
Une série }lunQiii est absolument convergente, est convergente. En effet, soit r„ le module de u,i ; on a
I lln+i -h "n+2 + ••• + Ufi+p I ^ ■'"n+i + ^'n+2 + ... + /"n+p-
Le caractère général de convergence (n° SSg) étant vérifié pour la série Sr^ , le second membre tend vers zéro pour n infini, donc le premier membre aussi, et le caractère général de convergence se vérifie pour Su» .
L'étude de la convergence absolue se ramène donc à celle de la convergence des séries positives.
On a, en particulier, le théorème suivant :
Une série Sii„ est absolument convergente, si, pour n suffisamment grand, ses termes deviennent égaux ou inférieurs en valeur absolue aux termes de même rang d'une série positive convergente.
368. Séries non absolument convergentes. — Lorsqu'une série réelle n'est pas absolument convergente, les termes positifs d'une part et les termes négatifs changés de signe d'autre part, forment séparément deux séries positives divergentes.
Soient Sn la somme des n premiers termes de la série, puis respectivement s'^^ et — s|^ les sommes des termes positifs et des termes négatifs qui entrent dans Sn , enfin a^ la somme des valeurs absolues des termes de Sn ; on a
Pour n infini, s„ est fini et <i„ infini par hypothèse, donc (a,j -t s,^ ) et, par conséquent, 6'^^ et s'^ sont infinis, ce qu'énonce le théorème.
369. Addition des séries. —Soient s = IltUnet s' = ^Vndeux séries convergentes, la série s'' = S(u„ ± Vn) obtenue par l'addition ou par la soustraction terme à terme des deux précédentes, sera convergente et aura pour somme s ± s'.
4lO CHAPITRE XI. DES SÉRIES
En effet, soient Sn, s'^^, s['^ les sommes des n premiers termes de chaque série ; on a s-| = s„ ± s'^^ et, à la limite, .s" -= s ± s'.
Remarque I. — L'addition et la soustraction des deux séries s et s' peuvent aussi se faire par simple intercalation des termes de s' entre ceux de s, c'est-à-dire que
s ± s' = «1 ± y, + «2 it 1^2 + «3 ± ••• En effet, la somme des n i^remiers termes de cette nouvelle série est sj^' ou s'^ 4- w^+i selon que n = 2A- ou 2/c + i. Comme u%+i tend vers zéro, cette somme a donc même limite s" que s^'. Remarque II. — Si les deux séries s et s' sont absolument convergentes, il en sera encore de même pour la série s ± s' calculées par l'un des deux procédés précédents.
En effet, soient a et a' les séries positives obtenues en remplaçant les termes de s et de s' par leurs modules, la série s ± s' aura ses termes au plus égaux en valeur absolue à ceux de la série positive convergente a -\- a'.
370. Changement de l'ordre des termes. — On peut changer l'ordre des termes d'une série 'Lun absolument convergente sans altérer la valeur de la série.
Soit e un nombre positif aussi petit qu'on veut. Désignons par rn le module de Un . On peut, par hypothèse, supposer n assez grand j)Our qu'on ait, p restant arbitraire,
■^n+i + Az+2 -}-.•• l'n+p < £•
Soit Sn la somme des n premiers termes de la série rangés dans l'ordre primitif et s sa limite. D'autre i)art, sommons successivement les termes d'une autre manière quelconque. Il arrivera un moment où la somme s'^^ ainsi obtenue comprendra tous les Un d'indice < n, mais avec d'autres termes d'indices (n + a), {n + [i)... {n + p). On aura
I s^„— Sn I </'n+a4-r„+[3-f ...+r„^<r„^, 4-r„+2 + ....rn+i3 < e.
Donc s|jj finit par différer aussi peu qu'on veut de .s„ qui diffère lui-même aussi peu qu'on veut de s, et s'^ a pour limite s.
Le théorème précédent subsiste si la sommation se fait en partageant les termes Undans un nombre plus ou moins grand ou même illimité de séries partielles, que l'on ajoute successivement les unes aux autres.
SÉRIES NUMÉRIQUES QUELCONQUES 4ll
Soient, en effet, S^ Sg,... Sft>---> les sommes de chacune des séries partielles. Celles-ci sont absolument convergentes. Pour le montrer, remplaçons par des zéros les termes de la série totale s qui n'entrent pas dans S/i . La série modifiée demeure absolument convergente en vertu du théorème du n^ 867. Comme on peut supprimer les termes nuls, elle se compose des mêmes termes que S/i et, comme l'ordre des termes est indifférent, les deux séries sont équivalentes.
Ceci posé, l'expression s — Sj — Sj — ... — Sft peut, par la règle d'intercalation des termes du n° précédent, se réduire à une seule série en u„ qui sera absolument convergente en vertu de la remarque (II) du même numéro. L'ordre des termes étant arbitraire, on peut supprimer ceux qui se détruisent. On peut donc supposer A' assez grand pour que cette expression ne contienne plus que des termes 11 d'indices > n. Donc, si n est choisi comme dans la démonstration précédente, le module de l'expression sera < e. Faisons tendre e vers zéro, on aura
s S, + S2 + ... 4 8;,+ ..., comme il fallait l'établir.
Au contraire, la somme d'une série à termes réels non absolument convergente dépend de l'ordre de ses termes. En modifiant cet ordre, on peut faire tendre la série vers le nombre que l'on veut, pourvu que les termes tendent vers 0 (Kiemann).
Formons deux séries, l'une avec les termes positifs et l'autre avec les termes négatifs de la série proposée. Supposons que ces séries (a) et {b) soient
(a) ai +a2 + a3 + ... 4-a„-f ...,
(b) —b^ — b^—bs— —bn—....
Ces deux séries sont divergentes (n° 368) et an ainsi que 6„ ont pour limite 0 quand n tend vers l'infini.
Ceci posé, nous allons montrer qu'on peut intercaler les termes négatifs entre les termes positifs de manière à former une série ayant pour somme un nombre quelconque, par exemple un nombre positif M.
A cet effet, prenons dans la série positive le nombre de termes strictement nécessaires pour que leur somme surpasse M, ajoutons ensuite des termes négatifs jusqu'à ce que la somme
4l2 CHAPITRE XI. DES SERIES
soit ramenée au-dessous de M, puis des termes positifs jusqu'à ce cxue la somme surpasse de nouveau M, et ainsi de suite, sans jamais prendre plus de termes qu'il ne faut. On alterne ainsi indéfiniment les termes positifs et les termes négatifs, car les deux séries sont infinies, et, par conséquent, tous les termes des deux séries seront employés. Je dis que la nouvelle série (c) ainsi formée a pour somme M.
En effet, considérons la différence s'^^^ — M entre 'M et la somme des m premiers termes de la série (c). Cette différence change un nombre infini de fois de signe. Si elle est positive, elle est inférieure au dernier terme a„ qui y entre, et si elle est négative, inférieure en valeur absolue au dernier terme b,i . Donc cette différence tend vers zéro, car a„ et b^ tendent vers zéro quand le nombre des termes pris dans cliacune des séries (a) ou (b) augmente infiniment.
371. Multiplication des séries. — Si les deux séries s =-■ ^iin et s' = Su^j sont absolument convergentes, la série I.Up u' qui contient tous les produits d'un terme de la première par un terme de la seconde rangés dans un ordre quelconque, est absolument convergente et a pour somme ss'.
Je dis d'abord que cette série est absolument convergente. En effet, soit Irp r^ la série obtenue eu remplaçant les u par leurs modules r. Sommons les X premiers termes de cette nouvelle série et soit p. le plus grand indice p ou q qui figure dans ces X termes. On aura
car le second membre comprend tous les termes du premier et d'autres termes positifs en plus.
Mais les facteurs du second membre restent finis, par hypothèse, quel que soit ]x. Donc la somme du premier membre est bornée, et, comme elle augmente avec X, elle converge. Donc la série Sup Uq est absolument convergente.
11 en résulte facilement qu'elle a pour somme ss' . En effet, on peut, en vertu du théorème du n° précédent, additionner ses termes dans l'ordre que l'on veut. On i^eut donc additionner successivement tous les termes des produits SnS^i, puis Syi-^^Sn+i, etc.. et on obtient ainsi comme limite ss'.
II. Soient s = I>iin et s' = 2y,j deux séries convergentes à termes réels ou complexes, dont la première au moins soit absolument convergente. Formons la série s" = Swn dont le terme général,
Wn^^ UuV^ + Un-iV^ + ... «i^n,
renferme toutes les combijmisons de deux indices dont la somme est (n + i). Cette série converge et a pour somme ss' (Mertexs).
Désignons par rn le module de u» , la série 2r„ sera convergente par hypothèse et aura une somme finie a. Soient respectivement Sn, s'n, Sn et (t„ les sommes des n premiers termes de chacune des séries («), (v), (w) et (r).
Considérons la différence Sns'n — s,î. On peut la mettre sous la forme
U^V» + «3 {Vn-i f l^n )+•■• + «n (^2 + f^3 + ••• + fn )
Soit n ^ p -\- q une décomposition de n en deux parties. Nous pouvons partager la somme précédente en deux parties correspondantes, cxiie nous écrirons chacune sur une ligne :
«2 (Sn — Sn-i) + «3 {s'n — s'n-2) + .., + Hp+i («n — «'/) -r- Up+o {sii — 4-)) + ••• ••• + lln{Sn — Si)-
On peut supposer q assez grand pour que toutes les parenthèses de la première ligne aient leurs modules moindres qu'un nombre donné e si petit qu'il soit. Alors la somme de la première ligne a son module moindre que
e (^'2 + /'a + .-. + rp+i) < z^p+, < e<7.
Cette somme est donc aussi petite qu'on veut avec e.
Les parenthèses de la seconde ligne ont leurs modules moindres qu'un nombre fixe A, car la série (v) est convergente. La somme de la seconde ligne a donc son module moindre que
A (rp+2 + rp+3 + ... + rp+q ) < A (a^^^ — '^p)- Cette somme a donc pour limite zéro quand 7; tend vers l'infini. En résumé, la différence Sns'n — s'n se compose de deux parties qui ont pour limite zéro quand p et q tendent vers l'infini. Comme on peut faire tendre p et q vers l'infini avec n, il vient donc
lim S'n = lini s„Sn = ss'.
4l4 CHAPITRE XI. DES SERIES
Remarque. — Le tliéorème précédent ne subsiste pas en général quand les deux séries Ilu» et Ey„ ne sont pas absolument convergentes. Toutefois, si la série ^Wn converge, elle a encore pour somme le produit des deux précédentes, comme on le montrera plus loin (n'' SqS).
372. Théorème sur les séries alternées. — Une série s ^- y.^ — a^ -\- «3 — ... qui est alternée, c'est-à-dive dont les termes sont réels et alternativement positifs et négatifs, converge si ces termes vont constamment en décroissant en valeur absolue et ont pour limite zéro. Le reste de la série est de même signe et moindre en valeur absolue que le premier terme négligé.
On a, en effet.
Son ^ (^1 — a^) + (3.3 — a,) 4- ... + (a,H-i — a,„). Son+i = a^ — (a^ — y..^)—...— (a^» — ^-zn+i)'
Toutes les différences entre pareutlièses sont positives. Donc S271 est une somme positive croissante et s,„+i, qui est égale à s-2n -h ^2n+i, une somme positive décroissante. Leur différence tend vers zéro. Donc elles tendent toutes deux vers une même limite, intermédiaire entre les sommes paires et les sommes impaires. Appliquons cette conclusion à la série
Rn = ± [y-n^ 1 — a„+2 + a„4-3 +.,•];
on voit que R„ a le signe de son premier terme et est moindre que lui en valeur absolue.
373. Théorème d'Abel. — Soients =^ Uj + «2 + ••• + "« + ••• "^^ série convergente à termes réels ou complexes, .s„ la somme de ses n premiers termes, et S la borne supérieure de \ Sn \ . Soient ensuite a,, a.^,... a^,... une suite de quantité positives non croissantes, ayant par conséquent une limite a, la série
a = aiHi + aazg + ,,• + a„ii„ -h ... converge vers une somme g de module moindre que Saj.
Soit (T,j la somme des n premiers termes de cette dernière série. On a, puisque iz„ = Sn — «n-i,
^n = Si y-i + {S-2 — Si) Of, + ... -f (Sn—Sn-^) ^i
et on en tire <^n— s»a„= Si (aj — a,^) + s^ {y^ — o.-^ + ... +Sh-i (a„i — a,^).
Quand n tend vers l'infini, le second membre de cette équation a une limite finie et déterminée, car la série qui a pour terme général Sn-i (a?i-i — «n) est absolument convergente. Celle-ci a, en effet, son terme général de module moindre que celui de la série positive convergente
«(^i-='2) + S(«2-a3) + ... = S[(ai-a2)+(a2-«3)-l-...] = S(ai-a).
Donc iT„ — SmOCpj a une limite déterminée et le module de cette limite sera < S (a^ — a).
Comme, d'autre part, Sn^-n tend vers sa, a,î tend vers une limite déterminée 7 et l'on a
I cT I < I sa I + S (a, — a) < Sa -h S (aj — a) = Sa^.
Remarque I. — La convergence de la série (-r) subsiste même quand ^Un diverge, pourvu : 1° que \ s„ | ait encore une borne supérieure finie S ; 2° que a,j ait pour limite 0.
En effet, la différence t,^ — s,ja,j a une limite finie et déterminée comme dans le cas précédent. Ensuite | s„a„ | qui est < Sa,, a pour limite 0 (même si s» ne converge pas). Donc ^n a une limite déterminée cr.
Remarque II. — La convergence de la série (a) subsiste encore quand les quantités a,, a,,... a,, sont croissantes et bornées, mais seulement si la série XIi:,, converge.
En effet, soit a la limite (nécessairement existante) de a„ ; la série (tr) est alors la différence des deux séries convergentes ci-dessous, la seconde convergente en vertu du théorème d'Abel puisque a — y.,i est décroissant :
aîZi + aiZg + ••• + a"n + ••.,
Exercices.
I. Si les coefficients a» sont non croissants et tendent vers 0 quand n tend vers l'infini, les séries
flo + «1 cosx -}- a-, ces 2x -{- ... + «« cos nx -{- .... bi sin X -^ b-zsinax -{- ... bu sin nx + ...
sont convergentes (sauf la première si ;i; = 2k~). R. Conséquence du théorème d'Abel.
4l6 CHAPITRE XI. DES SERIES
2. Soit Ml, M^,... M«... une suite positive constamment croissante jusqu'à l'infini ; si la série Sm„ converge, on a (Kronecker)
lim-^ S M„un = 0.
R. Démonstration analogue à celle du théorème d'Abel.
