Si, pour n =go, les deux expressions

-'Skuji, -(5i +52 + ... + 5«)

ont des limites finies, la série Sm« est convergente. Alors la limite de la première expression ne peut être que 0 (Exercice précédent).

R. On remarque que 5« est, à un facteur près qui tend vers l'unité, la somme des deux expressions considérées.

4. Généralisation du théorème d'Abel. — Soit a.\, ag,... a,î ... une suite de quantités positives et bornées ; quand la série Swn est convergente, la série SanW^ l'est encore s'il existe une suite de quantités positives (Xi, [Xg,... [j-n... jouissant des deux propriétés suivantes : 1° l'expression

Uii

garde une valeur finie et 2° l'expression

o jj-i ai 4-[j.2a2-f ... + ii.„a„

varie constamment dans le même sens (ou est constante) quand n augmente (La Maestra).

R. Soit M^ = [Ji-i + p-2 + .-. + lJ-/t ; on a identiquement

^ n-i fuk «/è+A , Mn iw/;=S INU H Un,

1 1 \\i-k V-k\xJ V-n

ce qui prouve, eu égard à i", que la somme

garde toujours une valeur finie. D'autre part, on a aussi

i JVU ( Pft -| Un \>n .

Par conséquent, p désignant la limite existante de p» ,

L,«ft-plW-'s'M/^-"^\pft-t3) + Mn— (Pn-P).

Quand n tend vers l'infini, le premier terme du second membre converge (théorème d'Abel) et le second tend vers zéro. Donc SanWji converge. En même temps, on a établi la transformation :

^ 'J-nUn=^^ ^ Un + - Mn )-h — ? .

Saft Uk =

5. Soit «1, aj,... a,j,... une suite de quantités positives et bornées dont chacune est inférieure (ou supérieure) à la moyenne arithmétique des précédentes ; si la série i^//» converge, la série '^oLnUn converge aussi, à condition que min soit borné (La Maestra).

R. Cas particulier du théorème précédent : On fait les ;x égaux à l'unité ; [in est la moyenne arithmétique de oti, a.,... 7.,^ et l'on a