CO 00 CO

s a,i Un = P S Un + 2 n{îin — Un+ 1 ) (Pu — P). •

Le théorème précédent subsiste quand ^Un n'est pas convergent mais seulement borné, à condition que «n tende vers 0, auquel cas p = 0.

s^ 3. Séries de fonctions.

374. Converg-ence uniforme. — Considcrous d'abord une série réelle,

s ^ n^ + II., + ... + «,, -I- ... ^ Sn + Ru,

dont les termes sont des fonctions d'une variable réelle a'. Si la série converge pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle (a, b), la somme s de la série sera une fonction de x.

Soit s un nombre positif donné, aussi petit que l'on veut. Pour chaque valeur déterminée de .\', la condition

(1) I Rn I < £

se vérifie pour tous les indices n supérieurs à un nombre fixe N, car cette condition sert de définition à s. Mais, si on laisse .v variable, il peut se faire que N dépende nécessairement de x.

Si, quelque petit que soit e, la condition (1) se vérifie pour tous les indices n suj)érieurs à un nombre ISi indépendant de x et pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle (a, b), on dit que la série converge uniformément dans cet intervalle.

Dans le eas des séries positives, la condition se simplifie. La convergence sera uniforme si la condition (1) a lieu ])our une valeur de n indépendante de x, ne fut-ce qu'une seule. En effet, la condition sera vérifiée a fortiori pour les indices plus grands.

La définition de la convergence uniforme s'étend d'elle-même au cas où les ternies de la série sont des fonctions de plusieurs variables x, y,... Si l'on peut attribuer à ces variables une infinité de sj'stèmes de valeurs, la convergence sera uniforme si la condition (1) se vérifie pour tous ces systèmes, quand l'indice n est supérieur à un nombre N indépendant des variables. Il

4l8 CHAPITRE XI. DES SERIES

suffira d'ailleurs qu'elle ait lieu pour une seule valeur de l'indice 71 indépendante des variables si la série est positive.

Enfin les termes de la série peuvent aussi être fonctions d'une variable complexe z et nous entendons par là que ces termes sont déterminés jDOur chaque valeur de z. Quand la série converge pour des valeurs de z en nombre infini, par exemple pour toutes les valeurs comprises dans un cercle, la convergence sera uniforme pour cet ensemble de valeurs, si la condition (1) a lieu pour toutes ces valeurs quand n surpasse un nombre N indépendant de z.

375. Exemples de séries à convergence non uniforme. — On peut former facilement des séries qui convergent pour toutes les valeurs de .y dans un certain intervalle, mais non uniformément. En voici deux exemples remarquables :