I. Considérons d'abord la progression géométrique de raison

S^X + X (I - .V) + A- (l — Xf + ... + .V (l — A-)» + ...

Cette progression converge pour toutes les valeurs de .r dans l'intervalle (0, i). Si x est > 0, la raison est plus petite que i et la progression a pour somme l'unité. Si a; ^ 0, tous les termes sont nuls et la somme aussi. Donc s est une fonction discontinue de X, qui passe de 0 à i quand x passe de 0 à une valeur positive si petit qu'elle soit.

Cette série n'est pas uniformément convergente.

En effet, pour les valeurs positives de x, on a

et, si n est constant,

lim lv„= I.

Il est donc impossible de satisfaire à la condition K,j < e <", i par une valeur de n indépendante de x.