II. Considérons, en second lieu, la série
.5 = ^ A [n^e-"^ — {n — lY e-;»-i)^]. On a, pour toute valeur positive de a,
Sn =^ An^e~"^, d'où s = a lim — —- = 0,
car une exponentielle est infiniment grande par rapport à une puissance.
Pour a; = 0, on a s» = 0 et s =-- 0.
Donc la série converge et l'on a s -= 0 pour toute valeur nulle ou positive de a\ Mais cette série ne converge pas uniformément. En effet,
R„ = s Sn =-■ — .X7î2 e-«^.
Si l'on pose .y = i : n, et qu'on fasse tendre n vers l'infini, X tend vers 0 et le reste, pris en valeur absolue,
augmente indéfiniment avec n. Donc la convergence n'est pas uniforme dans un intervalle comprenant le point 0.
376. Critère de convergence uniforme. — Une série de fonctions réelles on complexes est uniformément convergente si les modules de ses termes ne surpassent pas les termes de même rangd'une série convergente à termes constants et positifs.
Il est clair que, dans ce cas, le reste de la série de fonctions est de module moindre que le reste de la série à termes constants. Le reste R„ de la série de constantes peut être supposé < e en donnant à n une valeur convenable. Donc, en prenant ce nombre n de termes ou davantage dans la série de fonctions, le reste de cette série sera également de module < e. Donc la série converge uniformément.
377. Continuité des séries uniformément convergentes. — I. Si les termes d'une série uniformément convergente sont des fonctions continues d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes dans un domaine déterminé, la somme de la série est une fonction continue dans ce domaine.
Posons s = Sn -\- R» et désignons par As, As^ et AK„ les accroissements de ces trois quantités pour un système déterminé d'accroissements de la ou des variables. On a
^S = ^Sn + /^- Pvn -^ As„ -f {lin + AR „ ) — Pv„ .
Nous allons montrer que les trois termes dans lesquels on a décomposé As peuvent être supposés aussi petits qu'on veut avec
les accroissemeuts des variables. En effet, la convergence étant uniforme, on peut prendre n assez grand pour que les deux restes | R,, | et | R» + AIl„ | soient plus petits qu'un nombre positif £ donné d'avance si petit qu'il soit, quels que soient les accroissements des variables. Cela fait, Sn , qui est la somme d'un nombre limité de fonctions continues, est une fonction continue. Donc on peut rendre sa variation absolue < e en rendant les accroissements des variables suffisamment petits. Donc la variation | As | sera < 3e, quantité arbitrairement petite. Donc s est une fonction continue.
Quand la convergence n'est pas uniforme, la continuité de la somme n'est pas une conséquence de celle des termes de la série. Xous eu avons vu la preuve au n° 870 par l'exemple de la série ï.v (i — .y)" .
La réciproque n'est vraie que pour les séries réelles et positives :
II. Lorsqu'une série de fonctions continues et positives ne converge pas uniformément, la somme de la série est discontinue dans le domaine considéré.
Considérons, pour fixer les idées, des fonctions positives d'une seule variable .v dans un intervalle (a, b) et commençons par une remarque préliminaire.
Supposons que l'intervalle (a, b) soit partagé en deux parties. Si, £ étant donné, la condition R» < £ se réalise pour une valeur n' de n indépendante de a: dans la première partie, et aussi pour une valeur n'' de n indé]3endante de a* dans la seconde partie, elle se réalise dans l'intervalle entier pour la plus grande des deux valeurs n' et n", car, les termes étant positifs, R„ décroît quand l'indice augmente.
Ceci posé, si la convergence de la série positive n'est pas uniforme dans l'intervalle (a, b), il existe un nombre positif e tel que la condition R» < e soit irréalisable dans cet intervalle pour une valeur de n indéi)endante de x. Cette condition restera irréalisable, en vertu de la remarque précédente, dans l'un des deux intervalles moitiés, puis dans l'un des intervalles moitiés de celui-là, et ainsi de suite. Cette suite illimitée d'intervalles où la condition est irréalisable, chacun intérieur à tous les i^récédents et dont les amplitudes tendent vers zéro, cou-
verge, par coDséqiient, vers un point ; de l'intervalle (a, b). Ce point ^, compris dans tous les intervalles précédents, appartient donc à un intervalle aussi petit cxu'on veut où la condition R,^ < e est irréalisable pour une valeur de n indépendante de .y. — Je dis que la somme s de la série est discontinue au point ; et que l'oscillation de s en ce point sur^jasse e.
En effet, on a s =^ Sn -\- R», donc, Sn étant continu au point ç, l'oscillation de s en ce point est la même que celle de R,j quel que soit n. Mais pour n assez grand, R^ est aussi petit qu'on veut au point ^ et surpasse toujours e dans son voisinage immédiat. Donc l'oscillation de R„ (ou de s) est au moins égal à s. Ces théorèmes conduisent à la conclusion suivante : III. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de fonctions continues et positives ait une somme continue, est que la convergence soit uniforme.
378. Intégration des séries réelles uniformément convergentes. — .9/ les termes d'une série réelle, uniformément convergente, sont des fonctions continues d'une variable réelle x dans l'intervalle (a, b), r intégrale de la série dans cet intervalle peut s'obtenir, par décomposition, en intégrant chaque terme de la série.
D'autre part, si, au lieu d'intégrer dans Vintervalle (a, b), on intègre dans une portion variable (a, .v) de cet intervalle, la série intégrale sera encore uniformément convergente dans l'intervalle (a, b).
Considérons, en effet, la série
S= W, + Uo + ... 4- lln-Y ... =Sn4-Ru;
on aura, s et Rn étant continus (n" 877) et, par suite, intégrables,
JS dx = Sndx -\- I Jxndx.
a Ja .a
Faisons tendre n vers l'infini ; la convergence étant uniforme, I Rn I devient inférieur à tout nombre positif e, si petit (pi'il soit, quand n tend vers l'infini, auquel cas on a
ja
Cette intégrale tend donc vers zéro quand n tend vers l'infini. Il vient ainsi
422 CHAPITRE Xt. DES SERIES
rb Çb rb çb
s dx = lim Sndx = | Hj xd + ii^dx -\- ...,
.a n— -r. ja . a Ja
Pour démontrer la seconile partie du théorème, on remarque que l'on peut remplacer dans cette relation b par une valeur x quelconque de l'intervalle (a, b). Alors le reste de la série intégrale a pour valeur absolue
Undx
< Kb — a),
ce qui prouve que la convergence de la série intégrale est uniforme.
SÉRIES POSITIVES. — Une série de fonctions continues et positives dont la somme est continue, convergeant uniformément (n° 377, III), peut toujours être intégrée terme à terme.
Remarque. — Quand la convergence n'est pas uniforme, l'intégration terme à terme n'est plus toujours légitime. Nous allons le montrer par un exemple.
Reprenons la série, considérée précédemment (11° 875),
s = Sx[/i-e-'»^ — {n — 1)2 e - «-D^] = 0, dans laquelle .v est nul ou positif. On a évidemment
Çs dx = 0.
Mais l'intégration terme à terme conduit à un résultat différent du précédent. On a, en effet,
Sn-=- xn-e-"^.
Si l'on intègre terme à terme, on trouve
lim I Sndx = lim nx e""^ ndx = te'
n=ccJo Jo Jo
tandis que l'intégrale de s est nulle.
dt --= I,
379. Dérivation des séries réelles. — Si les termes d'une série réelle convergente sont des fonctions d'une variable réelle x ayant des dérivées continues, et si la série de ces dérivées converge uniformément dans un intervalle (a, b), la somme de la série des dérivées est la dérivée de la somme de la série primitive.
Soient, en effet, s = I.Un la série primitive et a = Su^^ la série
dérivée, dont la somme est fonction continue de x (n° 877). Faisons varier x de a à, b, on aura, en vertu du théorème précédent,
.a Ja
l'indice a signifiant qu'il faut faire x ^ a dans la fonction entre parentliès(is. Comme la série primitive converge par hypothèse, le résultat précédent peut se mettre sous la forme
a dx --= Hlln — "^{lln )«=-« — (s)« , Ju
et, en égalant les dérivées de deux membres par rapport à ;v, a étant continue, on trouve (j = s' comme le veut le théorème.
Ce théorème et ceux des trois n°^ précédents sont les cas particuliers élémentaires de théorèmes beaucoup plus généraux, qui vont être exposés dans le petit texte qui suit :
380. Convergence uniforme à moins de e près en un point. — Considérons une série réelle ^»,i dont les termes sont des fonctions de x dans un intervalle (a, b) ; nous donnerons la définition suivante :
La série converge uniformément à moins de s près en un point ; de lintervalle {a, b), si, le nombre positif £ étant donné, on peut lui faire correspondre un indice n aussi grand qu'on veut et un nombre positif 0, tels que l'on ait
\Rn \<t
pour toutes les valeurs de x dans V intervalle (; — 0, ç + è). ,
Théorème I. — Si les termes d'une série convergente Sm>i sont des fonctions continues au point ç, et si la série converge uniformément à moins de t près en ce point, l'oscillation au point \ de la somme s de la série est < 2.--. — Au contraire, si la série ne converge pas uniformément à moins de s. près au point ;, l'oscillation de s au point ? est au moins égale à e.
On a, en effet, 5 = 5n+ R?i • Comme 5n est continue au point ;, l'oscillation de s en ce point est la même que celle de R^ quel que soit n. Il suffit d'examiner celle-ci.
Si la série converge uniformément à moins de £ près, | Rn \ devient inférieur à £ dans tout l'intervalle (? — 0, ^ ]- 0) pour certaines valeurs de n, auquel cas l'oscillation de En au point î est <: 2£.
Si la série ne converge pas uniformément à moins de e près, 1 Rn | surpasse toujours £ dans le voisinage immédiat de ?, tandis qu'il tend vers 0 au point ; quand n augmente indéfiniment, donc l'oscillation de Rn au point ç est au moins égale à £.
De là découle immédiatement le théorème suivant :
Théorème II. — Lorsque les termes d'une série sont des fonctions continues de X au point \, la condition nécessaire et suffisante pour que la somme de la série soit aussi continue en ce point, est que la convergence soit uniforme à moins de t près en ce point, quelque petit que soit e.
La définition et les théorèmes précédents s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions de plusieurs variables réelles ou complexes et nous ne nous arrêterons pas davantage à cette généralisation.
381. Convergence quasi -uniforme. Continuité des séries. — Considérons encore une série réelle dont les termes sont fonctions de x dans un intervalle {a, h). Nous dirons (Borel) que la convergence de la série est quasi- uniforme dans l'intervalle {a, b), si à tout système de deux nombres positifs e et p le premier aussi petit, le second aussi grand qu'on veut, on peut faire correspondre un nombre q y p tel que la condition
I Rn 1 < e
puisse se réaliser pour une valeur de n, variable avec celle de x dans l'intervalle {a, b), mais toujours comprise entre les deux nombres fixes p et q.
Pour les séries à termes positifs, la convergence uniforme se confond évidemment avec la convergence quasi-uniforme, car, si les conditions précédentes sont vérifiées, K» , qui décroît quand n augmente, sera < e quel que soit x si n est ^ q.
Théorème. — Si, quelque petit que soit t, une série ^Un converge uniformément à moins de e près en chaque point de l'intervalle {a, b), la convergence sera quasi-uniforme dans l'intervalle {a, b).
En effet, supposons, par impossible, que la convergence ne soit pas quasi-uniforme dans l'intervalle {a, b). Nous pouvons assigner deux nombres £ et ^ tels que la condition | R?i | < £ soit impossible pour n > p et borné quand x varie dans l'intervalle [a, b). Partageons cet intervalle en deux autres, cette impossibilité subsistera dans un des deux intervalles moitiés du précédent, puis dans la moitié de cette moitié, et ainsi de suite indéfiniment. Nous formerons ainsi une infinité d'intervalles indéfiniment décroissants, chacun intérieur à tous les précédents et tendant vers un point ? de l'intervalle {a, b). Ce point ? tomberait donc dans un intervalle aussi petit qu'on veut où l'on ne pourrait avoir | 'Rn | < £ pour n y p et borné. Cette conclusion est contraire à l'hypothèse que la série converge uniformément à moins de £ près au point t
Corollaire. — En comparant le théorème précédent au théorème II du n*^ 38o, on en conclut immédiatement le suivant : Utie série de fonctions continues dont la somme est une fonction continue de x dans un intervalle {a, b), converge quasi-uniformément dans cet intervalle.
La réciproque est vraie :
Une série de fonctions continues de x qui converge quasi-uniformément dans un intervalle {a, b), a pour somme une fonction continue de x.
En effet, soit ? un point de l'intervalle ; montrons que la série est continue en ce point.
Prenons d'abord l'indice p assez grand pour que l'on ait, au point déterminé ç,
I R»(?) 1 <£, si;; > p.
Soit q le nombre qui correspond au système £ et ;!> ; on aura, pour une valeur de // comprise entre p et q, mais qui dépend de x,
Rn{x) < £.
On aura donc {n dépendant toujours de x)
s {x) - s (-:) = 2 [ui, (x) - Uk (ç)] + R,. (x) - Rn (0
et a fortiori, puisque n est < q et | Rn | < e,
\s{x)-s{^)\ <l \mix)-UkCz)\-\-2t.
Quand x tend vers ?, la somme des q termes u/i{x) — tih (?) tend vers zéro, donc la limite du premier membre est < 2£. Elle est donc nulle, puisque £ est arbitraire, donc s est continue au point ;.
De là le théorème suivant de M. Arzela :
Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour quune série de fonctions continues soit elle-même continue dans un intervalle {a, b), est que la convergence de la série soit quasi-uni/orme dans cet intervalle.
Encore une fois, les définitions et les théorèmes qui précèdent s'étendent facilement aux séries dont les termes sont des fonctions de plusieurs variables réelles ou complexes.
382. Intégration et dérivation des séries réelles. — Soit Swn une série convergente de fonctions de x bornées et mesurables. Si les sommes successives 5i, So,... Sn,-.. sont aussi bornées dans leur ensemble, on a, comme on le sait, avec l'intégrale de Lebesgue, (n'' 25o, I),
j s dx = lim Sn dx= I Ui dx + Ut dx -(- ...
J a Ja Ja Ja
et la série peut être intégrée terme à terme.
Remarquons que, si les sommes Sn (et, par suite, 5) sont bornées dans leur ensemble, les restes Ru le sont aussi, et réciproquement. On a donc le théorème suivant :
Théorème I. — Une série convergente de fonctions bornées et mesurables dans un intervalle {a, b) peut être intégrée (L) terme à terme comme tin polynôme si le reste Rn de la série est borné quels que soient n et x.
Le théorème précédent se généralise en remplaçant le théorème de
M. Lebesgue par le théorème II du n" 25o qui est plus général. On obtient ainsi l'énoncé suivant :
Théorème II. — Une série convergente de fonctions sonwmbles peut être intégrée (L) terme à terme datis un intervalle [a, h), si Sn , ou (ce qui revient au même) si Rjz est, quel que soit n, de module inférieur à une fonction positive sommahle ^{x).
Ces théorèmes subsistent si l'intégration se fait, non dans un intervalle, mais sur un ensemble mesurable.
Ces théorèmes fournissent des théorèmes réciproques relatifs à la dérivation des séries. Nous énoncerons seulement le réciproque du premier.
Théorème III. — Soit '^un une série de fondions continues et dérivables, convergente dans un intervalle {a, b) ; on pourra la dériver terme à terme en un point x, si la série dérivée 2?^,j converge et a son reste R« borné dans un intervalle {x — 8, x -\- o) si petit qu'il soit ; et si, de plus, la somme de cette série est continue au point x.
Quand les dérivées w„ sont continues au point x, il faudra, pour que cette dernière condition soit réalisée, que la série dérivée converge uniformément au point x à moins de s près quelque petit que soit s (no 38o, II).
Ce théorème s'établit par la même voie que celui du n» 379.
Cas des séries positives, — Si la somme d'une série positive est bornée, le reste Rn l'est a fortiori. Donc une série de fonctions positives et mtégrables (L) qui a une somme bornée dans un intervalle {a, b), peut toujours être intégrée (L) terme à terme.
Plus généralement, en vertu du théorème III du n^^ 25o : Une série de fonctions positives sommables peut toujours être intégrée (L) terme à terme, seulemeiit, si la somme de la série n'est pas sommable, son intégrale est infinie.
§ 4. Séries potentielles.
383. Définition. — Les séries j)otentielIes sont celles qui sont ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une variable réelle ou complexe (s — a). Elles sont de la forme
ao + ai(s — a) + a2(2 — a)- + ... +an(2 — a)»+ ...
En posant z — a ^ .v, elles prennent la forme
(1) ao + a^x + a.^X' + ... + a^.v» + ... -= SanX».
C'est sous cette forme que nous allons les étudier. Ces séries
SÉRIES POTENTIELLES 4^7
jouissent de propriétés qui leur sont propres et elles ont une importance exceptionnelle.
Dans les démonstrations suivantes, nous désignerons en général par r le module de x et par ao, aj,... a.^ ceux de Rq, aj,... a,j .
384. Cercle de convergence. — Considérons la suite des quantités :
Trois cas peuvent se présenter :
1° Si pn a pour limite zéro pour n infini, la série positive Swn = Xa,jr" converge pour toute valeur positive de r en vertu du critère de première espèce de Cauchy (n° 364), ^^^ ^^ ^> quel que soit r,
lim "V"» = 1"^ " \/a,j i'» = lim p„r = 0.
Donc la série Sa,îA-" est absolument convergente pour toute valeur réelle ou complexe de .v. On dit, dans ce cas, que la série (1) est une fonction entière de x.
'2^ Si pn peut surpasser tout nombre assignable, la série I!a„5C" diverge pour toute valeur de ;x; autre que zéro, carie module, (p«r)" , de son terme général n'a pas pour limite zéro.
3" Quand aucune de ces deux hypothèses ne se présente, pn a une plus grande limite (n° i5) finie et positive L, c'est-à-dire que p,i devient définitivement inférieur à L -}- £ et ne devient jamais définitivement inférieur à L — e quel que petit que soit le nombre positif s. Posons L -- i : R ; je dis que la série positive Sun ^ Sa,jr'* converge si r est < R et diverge si r est > R.
En effet, si r est < R, on peut poser r = , d'où
Cette expression devenant définitivement inférieure à un nombre fixe < I, la série converge en vertu du critère de Cauch3\
Au contraire, si r > R, on a r = = , d'où
Li — e
Cette expression ne devenant jamais définitivement < i, Un n'a i^as pour limite 0.
Donc la série HanXn est absolument convergente pour toute
valeur réelle ou complexe de x dont le module est < R et elle diverge pour toute valeur dont le module est > E (le terme géuéral n'ayaut pas pour limite zéro).
Le cercle de rayon R décrit autour de l'origine s'appelle le cercle de convergence : la série lL.anX"^ est absolument convergente à l'intérieur et divergente à l'extérieur. Sur la circonférence elle-même, il y a doute ; la série converge ou diverge suivant le cas.
D'après ce qui précède, le raj^on du cercle de convergence est l'inverse de la plus grande limite de "va,j . Donc, en particulier, si '^sJoLn a une limite, cette limite est l'inverse du rayon de convergence.
Remarque. — Le rayon de convergence est aussi égal à la limite, quand elle existe, du rapport a,i : an+i. En effet, soit R cette limite ; le critère de seconde espèce de Caucby s'applique alors à la série 'E.Un= 'La.nr'^ , il vient
lim^^^^ = lim''^^+^' = ^.
Un a„ R
donc la série converge ou diverge selon que r < ou > R.
385. Théorème. — Une série potentielle converge uniformément dans tout cercle de rayon 0 < R décrit autour de l'origine, et elle a, par conséquent, pour somme une fonction continue de X dans ce cercle.
En effet, la série à termes constants et positifs I!a„ p" est convergente par hypothèse, puisque p < R. Les modules des termes de la série lanX'^ ne peuvent surpasser les termes correspondants de la série précédente dans le cercle de ra^'on p. Donc cette série converge uniformément (n° 876).
386. Fonctions analytiques. — A l'intérieur du cercle de convergence, une série potentielle définit donc une fonction de la variable complexe .v. Les fonctions qui peuvent être ainsi définies par des séries potentielles, portent le nom de fonctions analytiques. Ce sont les i>lus importantes, mais leur étude ne sera pas approfondie dans ce cours.
La dérivée f'{x) d'une fonction analytique f{x) est, par défition, la limite du quotient
SÉRIES POTENTIELLES 4-9
quand h tend vers zéro par une suite de valeurs réelles ou complexes quelconques. Le théorème suivant prouve l'existence de la dérivée pour toute fonction analytique :
387. Théorème. — Soit f{x) --^ Ija,iX'^ une série convergente dans un cercle de rayon R ; la série dérivée Sna„ a;"~ ^ sera convergente dans le même cercle que la première et aura pour somme f'{x).
Soit A' un point quelconque situé dans le cercle de convergence. Considérons la série convergente à termes positifs
Donnons à r un accroissement positif o, assez petit pour que r + ô soit encore < R. La série F(r -t- 8) sera encore convergente et l'on aura
(1) = Va^ ïnr^^~^ + '^^'^~^ '^ 8r«-^ + ...
Donnons à A" un accroissement variable h, réel ou complexe, et formons l'expression, analogue à la précédente,
f{x-^h)-f{x) ,. {x + hr-x-
(2) =^an ïnx>'-' + ^^^^~^hix>'-' + ...
La comparaison des séries (1) et (2) montre immédiatement que, si I /i 1 est < 8, tous les termes de la série (2) ont leurs modules moindres que les termes de la série (1) qui sont constants et positifs. Donc, si h tend vers zéro, la série (2) converge uniformément {n° 876) et est fonction continue de h (n° 877). Sa limite pour h = 0 se confond avec sa valeur pour h = 0. En faisant tendre h vers zéro, l'équation (2) donne donc, à la limite,
/•'(.v) = Sna„A-«-'.
388. Théorème d'Abel. — >S'/ la série Sa,j.v'' converge pour une valeur réelle .v, de x, elle converge uniformément dans r intervalle {(), Xi) et elle a pour somme une fonction continue de x dans cet intervalle.
43o CHAPITRE XI. DES SERIES
Le reste En n'est autre chose que la série
Rn - an X^ 4- an+ i^'"+ ' + • • •
La série proposée étant convergente pour :v -^ \\ par hypothèse, à tout nombre positif e donné, si petit qu'il soit, correspond un entier N assez grand pour que la condition
I anX,^+an+,x,^+' + ... ^an+pX,^+P I < e
ait lieu, quel que soit p, pourvu que n soit > N.
D'autre part, si l'on a soit 0 < a; < Xi, soit xi :^ ^ ^0, la suite
fxy^ fxY+^ fx'Y+p
est positive, stationnaire ou décroissante. Donc la série
an^'i" (^X+ ^'^+i^'^"^{^T"^'"^ - ^ anX''+an+,x>'+'+ ... converge (n" 378) et sa somme est < e f ^ j et a fortiori < 3.
On a donc | Rn | < e, quel que soit x, et la série proposée converge uniformément dans l'intervalle (0, a*,).
389. Sur l'emploi du théorème précédent. — Le théorème d'xVbel sert le plus souvent à étendre aux points de la circonférence du cercle de convergence des relations établies dans l'intérieur seulement de ce cercle.
vSupposons qu'on ait, dans l'intérieur du cercle,
f{x) = I,anX''
et que f{x) soit continue en un point X de la circonférence. La relation précédente subsistera au point X, pourvu que la série converge en ce point.
Soit, en effet, r une variable réelle comprise entre 0 et i ; on a, par hypothèse,
Faisons tendre r vers l'unité ; on aura, en vertu du théorème d'Abel,
390. Application à la multiplication des séries. — Considérons deux séries convergentes à termes réels ou complexes :
s = l'Un, s' = lUn.
SÉRIES POTENTIELLES 4^1
Formons la série s" ^ ^uhi, dont le terme général est
Wn= niVn+ IhVn-i + ••• + "n^i-
Théorème. — Si In série I^iv converge, elle a pour somme ss'. En effet, les deux séries :
sont convergentes pour x = i. Donc leur rayon de convergence
est au moins égal à i et elles sont absolument convergentes si
I a: I est < I. On a donc, sans difficulté si | x | est < i (n'^ 87 1),
(p(.A;) 4/(x) --= ^LVnX''+'.
Faisons tendre .\' vers l'unité. On aura, par le tliéorème d'Abel, lim (f{x) -= s, lim <]>(a;) = s', lim I^Wn x^+ ^ = ^Wn = s". Donc s" = ss'.
39 1 . Théorème. Série illimitée de îr'aclaurin. — Une fonction réelle ou complexe ne peut être développée en série potentielle que d'une seule manière.
En effet, soit f{x) la somme d'une série potentielle, convergente dans un cercle de rayon R :
f{x) = ao + a, A- + agA:^ + a^x^ + ...
En dérivant successivement, il vient, dans le même cercle,
f'{x) --- ai + 2a2A- + SagA'" + ..., f"{x) = 2a,-{-2.3a,x + ..., f"'{x) = 2.3a, + ...,
Posant A" =- 0 dans ces équations, on en tire successivement
ao-=m), ai = r(o), «2 = Ç|^, ""^--ÇË-"
Donc tous les coefficients de la série sont déterminés. En substituant ces valeurs dans la série, il vient
C'est la série illimitée de Maclaurin. Nous retrouvons donc, par une autre voie, la loi de formation des coefficients successifs obtenue au n*' i25. Tandis que nous avons raisonné là sur
un nombre limité de termes, nous avons raisonné ici sur des sommes prolongées à l'infini. Mais tandis que, les variables étant réelles, la formule limitée du n° i25 ne suppose (pie l'existence des dérivées de f{x), celle que nous venons d'obtenir n'est nullement démontrée pour une fonction f{x) quelconque. Elle ne l'est que poiivuii que le développement soit possible.
392'. Nouvelles expressions du terme complémentaire de la formule de Maclaurin. — Le procédé qui se présente immédiatement à l'esprit pour reconnaître si une fonction f{x) d'une variable réelle peut s'exprimer en série potentielle, consiste à la développer par la formule limitée de Maclaurin et à vérifier si le terme complémentaire tend vers 0 quand le nombre n des termes augmente indéfiniment. S'il en est ainsi, en faisant tendre n vers l'infini, on obtiendra l'expression de f{x) en série illimitée.
Ceci nous amène à clierclier une nouvelle forme du terme complémentaire ou du reste. Nous allons l'obtenir en nous servant du calcul intégral.
Soit f{x) une fonction, continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n, d'une variable réelle x. En faisant une première intégration par parties, on a
/■(•v) - /"(O) = {'l\^ - t)dt = xf{0) + rr{x - t)tdt.
./o Jo
On peut faire une nouvelle intégration par parties portant sur tdt, et continuer ainsi de suite, en faisant toujours porter l'intégration sur la puissance de t. Après n — i intégrations par parties consécutives, on obtient
( A^v) ^ f{0) 1- xf'iO) + ^ /-"(O) + ... + 77^/^"-^ (0) + R» (1) ' "- ^" ^^
C'est la formule de Maclaurin avec X expression exacte du reste. Par le changement de variables t = x (i — u), le reste s'écrit aussi
(2) R„ = ^^^ \y\ux) (I - n)'-^ du.
Au moyen du théorème de la moyenne, on peut obtenir des
expressions plus simples du reste, mais qui ont l'inconvénient de renfermer une quantité inconnue 9 comprise entre 0 et i. Si l'on fait sortir /"("'(ha;) du signe d'intégration, on trouve
C'est l'expression connue (n'' i25).
§ 5. Développement des fonctions réelles en séries potentielles. Discussion du reste.
393. Considérations générales. — Lorsqu'on se propose de développer en séries potentielles des fonctions qui dépendent d'une variable complexe, il existe des principes généraux qui permettent de supprimer à peu près toute discussion. Ces principes font l'objet de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Pour le moment, nous considérons exclusivement les variables réelles. Pour obtenir le développement de f{x) en série potentielle, le procédé le plus élémentaire consiste à passer de la formule limitée de Maclaurin à la formule illimitée en faisant tendre n vers l'infini.
Il faut démontrer que le terme complémentaire tend vers zéro. C'est à cela que servent les expressions générales de ce terme que nous avons fait connaître au n° précédent. Mais la discussion est loin d'être toujours facile sur ces expressions générales. Elle est simple pour les fonctions e^ , sin x, cos x. Elle l'est déjà moins pour les autres fonctions élémentaires, et pour les fonctions plus compliquées, elleest le plus souvent impraticable.
Heureusement, pour la plupart des fonctions, on trouve des expressions particulières de R,j , non comprises dans les formules générales, et qui se prêtent à une discussion plus facile. C'est ce que nous nous proposons de montrer dans le paragraphe actuel.
A côté du procédé qui consiste à passer de la série limitée à la série illimitée, il y en a un autre, infiniment plus riche en ressources. On pose a priori la série illimitée et on démontre directement au moyen de ses propriétés particulières qu'elle a pour somme f{x). Ce procédé est moins élémentaire que le premier, mais, pour en faire saisir la portée, nous commencerons par l'appliquer aux fonctions e^ , sin x et cos x. 28
