Fonction rationnelle, — Le quotient de deux polynômes

est ce qu'on appelle une fonction rationnelle de z. Sa valeur est bien déterminée pour toute valeur de z qui n'annule pas le dénominateur. On a, d'après les principes rappelés plus haut (no 46),

lim f{z) .= /-(a),

sauf si a annule le dénominateur. Donc une fonction rationnelle est continue, sauf pour les valeurs de z qui sont racines du dénominateur et qui rendent la fraction infinie.

Quand le dénominateur se réduit à une constante, la fraction se réduit à un polynôme entier. On dit aussi f|n'un ]iolynomp est une fonction rationnelle et entière de z.

L'expression P (s) : Q (z) est une fraction proprement dite lorsque le degré du numérateur est moindre que celui du dénominateur. Si P était du même degré ou de degré plus élevé que Q, en effectuant la division, on décomposerait P : Q en un quotient entier et une fraction proprement dite.

^ 8. Des ensembles en général. Leur puissance.

49. Puissance d'un ensemble. — Un ensemble est une collection d'objets ou d'éléments quelconques en nombre fini on infini. Nous avons déjà parlé de l'ensemble des nombres entiers, de celui des nombres rationnels, réels... Mais on peut aussi considérer l'ensemble des polygones inscrits dans une courbe, l'ensemble.des fonctions de x, l'ensemble des équations algébriques, etc.

On dit que deux ensembles E et Ei ont même piiissance (Cantor) si l'on peut établir une correspondance parfaite ou uniforme entre les éléments des deux ensembles, de sorte qu'à chaque élément de l'un corresponde un élément de l'autre et réciproquement.

Si les deux ensembles sont finh, c'est-à-dire composés d'un nombre limité d'objets, l'idée de puissance se confond avec celle du nombre des objets. Une collection finie ne peut avoir le même nombre qu'une de ses parties ; au contraire, on peut établir une correspondance parfaite entre une collection infinie et l'une de ses parties. C'est ainsi, par exemple, que l'on peut établir une correspondance parfaite entre tous les nombres entiers et tous les nombres pairs, chaque nombre entier correspondant au nombre double : l'ensemble des nombres pairs a même puissance que celui de tous les entiers.

Après les ensembles finis, les plus simples sont les ensembles dé7iombrables.