Ensembles dénombrables. — a) Un ensemble qui a la même

puissance que celui des nombres entiers i, 2, 3,... h,... est un ensemble dénombrable. C'est donc un ensemble dont on peut numéroter tous les éléments, car, à chaque élément, correspond un entier qui sera son numéro. Par conséquent, les éléments peuvent être distingués par un indice et rangés dans une suite illimitée

«1, Uç,,... «„....,

analogue à la suite des entiers où chaque terme est précédé et suivi d'un autre.

bj Tout ensemble d'éléments u {r, s,... t) qui se distinguent par les valeurs d'un nombre limité de paramètres ou d'indices r, s,... t susceptibles de toutes les valeurs entières i, 2,... n,..., est un ensemble dénombrable.

Soit, en effet, r -\- s -\~ ... -\-t = n la somme de ces indices ; il n'y a qu'un nombre limité d'éléments pour chaque valeur de n et on peut les numéroter ; on peut donc numéroter tous les éléments en commen çant par la plus petite valeur de n et en passant successivement aux valeurs plus grandes.

En particulier, l'ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable, car ces nombres peuvent se mettre sous forme de fraction irréductible p : q = u {p, q) et ils se distinguent par deux indices. D'ailleurs, l'ensemble de tous les nombres rationnels est aussi dénombrable, en \'ertu du théorème suivant :

c ) L'ensemble formé par la réunion d'un nombre limité d'ensembles dénombrables est dénombrable, car on peut numéroter d'abord tous les premiers éléments, puis tous les seconds, etc. — Plus généralement, l'ensemble formé par la réunion d'une infinité dénotnbrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, car on peut désigner par u {m, n) le m'^'"^ élément du n^'^'"' ensemble, de sorte que les éléments de l'ensemble total se distinguent par deux indices : celui-ci est dénombrable.

dj Toute infinité d'éléments comprise dans un ensemble dénombrable est dénombrable.

En effet, on peut ranger les éléments de l'ensemble partiel dans l'ordre où ils se rencontrent dans l'ensemble total (supposé dénombré).

e) On ne change pas la puissance d'un ensemble non dénombrable, si l'on suppritne une partie de ses éléments formant un ensemble dénombrable.

Partageons un ensemble E non dénombrable en deux autres D et E' dont D soit dénombrable : nous écrirons

L'ensemble E' ne sera pas dénombrable, sinon E le serait aussi {c). Partageons arbitrairement E' en deux ensembles D' et E" dont D' soit dénombrable ; nous pouvons encore écrire

Soit (D + D') l'ensemble dénombrable (c) formé par la réunion de D et D' ; il vient

Donc E a même puissance que E', car on peut établir une correspondance uniforme entre les deux ensembles D + D' et D'.

f) Réciproquement, on ne change pas la puissance d'un ensemble non dénombrable en lui ajoutant un ensemble dénombrable.

En effet, l'ensemble somme n'est pas dénombrable, donc sa puissance ne change pas quand on en retranche l'ensemble ajouté {e).

51. Ensembles qui ont la puissance du continu. — a) Un ensemble qui a la même puissance que celui des nombres réels compris entre 0 et I, est un ensemble qui a la puissance du continu.

L'ensemble des nombres compris dans un intervalle [a. b) quelconque a la puissance du continu, car la relation x = a^ (b — a) y fait correspondre à tout nombre x de Tnitervalle {a, b) un nombre v compris entre 0 et i et réciproquement.

b) L'ensemble des nombres irrationnels de r intervalle (Ji a aussi la puissance du continu.

En effet, la suppression de l'ensemble dénombrable des nombres rationnels ne change pas la puissance de l'ensemble des nombres entre (I et I ( n" 5o, d ei e).

c) Un ensemble qui a la puissance du continu n'est pas dénombrable. Considérons l'ensemble des nombres irrationnels de l'intervalle <ii.

Ils se développent chacun d'une seule manière en fraction continue illimitée (sans partie entière). Supposons, par impossible, que ces nombres puissent se ranger dans une suite dénombrable Xi . x .,,... x„ ,.,. et soit, en général,

Xt, -= (a", clI,... a"„,..})

le développement de Xn. On peut écrire immédiatement une fraction continue, de valeur irrationnelle < i,

x=\b^,b.,,...bn,...),

non comprise dans la suite, en prenant b^ différent de a\, b-, différent de a^,... è» différent de «",... Donc le dénombrement n'est pas complet : l'ensemble considéré n'est pas dénombrable.

dj En réunissant deux ensembles (sans éléments communs) K et Ei qui ont la puissance du continu, on forme un ensemble E -f- Ej qui a la puissance du continu.

En effet, on peut faire correspondre E aux nombres compris entre 0 et I, El aux nombres compris entre i et 2 (i exclu), alors £ + Ei correspond aux nombres de l'intervalle (0,2) : sa puissance est celle du continu.

e) Plus généralement, l'ensemble formé par la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles (sans éléments communs) qui ont la puissance du continu, a encore la même puissance.

En effet, soient Ei, Eo,... E« ,... ces ensembles; choisissons une suite de nombres croissants ai, a,,... an ,-.. aj'ant une limite b. Faisons correspondre El aux nombres compris entre a^ et a.,, Ej aux nombres compris entre a^ et a.^ {a-, exclu), et ainsi de suite ; l'ensemble somme correspondra aux nombres compris entre a etb {b exclu) ; il aura donc la puissance du continu.

En particulier, l'ensemble de tous les nombres réels a la puissance du continu, puisqu'ils appartiennent à une infinité dénombrable d'intervalles consécutifs.

f) Tout ensemble â! éléments ufai, a^,... an,.--) qui se distinguent par les valeurs d'une infinité dénombrable de paramètres, a, susceptibles des deux valeurs i\ et i, a la puissauce du continu.

On fait correspondre les éléments u aux nombres de l'intervalle (n,i) en écrivant ceux-ci dans le système binaire, lequel n'emploie que les deux chiffres 0 et i.

L'ensemble de toutes les fractions illimitées écrites avec i) et i,

0, «1 flo... an ■■■

correspond bien uniformément à celui des éléments u, mais pas à celui des nombres de l'intervalle (o,i), car un même nombre rationnel dont le dénominateur est une puissance de 2 admet deux représentations différentes en fraction illimitée (l'une avec une infinité de 0, l'autre avec une infinité de i). Par exemple,

^o,ioo ... =o,oiii ...

L'ensemble des fractions illimitées correspond donc à l'ensemble des nombres de l'intervalle (o,i) avec, en plus, celui des nombres rationnels précédents. Mais celui-ci est dénombrable, de sorte que la puissance de l'ensemble des fractions, donc de l'ensemble des u, reste celle du continu (n» 5o,f).

g) Tout ensemble d'éléments u (xx, x->,... x,-,...) qui se distinguent par les valeurs d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable de paramètres x susceptibles d'un ensemble de valeurs ayant la puissance du continu, a encore la puissance du continu.

En effet, en vertu de/, la valeur de a:^ peut se définir par celles (0 ou i) d'une infinité dénombrable de paramètres correspondants :

«ri, an,... a,s,--. (un indice variable). '

Mais alors l'élément u (xx, x.>,... x,-,...) est défini par les valeurs (0 ou i) de l'infifiité dénombrable {n° 5o, c) des paramètres ars (deux indices variables), ce qui ramène au théorème précédent.

52. Critérium d'ég-alité pour les puissances (*|. — Soient A et B deux ensembles ; si l'on ■beut faire correspondre à tous les éléments de A des éléments différents de B et à tous ceux de B des éléments différents de A, les deux ensembles ont même pnissancc. Autrement dit, si A a même puissance qu'une partie de\^ et^ même puissance qu'une partie de A, les deux ensembles A et B ont même puissance.

Désignons par bA la partie de A qui a même puissance que B et par rA l'ensemble restant ; par «B la partie de B qui a même puissance que A et par pB l'ensemble restant. Nous pourrons écrire

A = bA-\~rA, B=-flB + pB,

(*) Les résultats des n" 52 et 53 ne seront pas utilisés dans la suite du cours.

et, bA ayant la puissance de B, il suffit d'établir que A et bA ont même puissance.

Remarquons que tout ensemble Ai qui a la puissance de A admet un partage qui correspond à celui de A, car, après avoir établi la correspondance entre A et Ai on peut réunir dans un ensemble bA^ les éléments de Ai qui correspondent à ceux de bA et dans un ensemble rBi les éléments de Ai qui correspondent à ceux de rA. En particulier, l'ensemble aB peut ainsi se partager en deux autres, bah et raB. A ce point de vue, on peut donc considérer b et r comme des symboles d'opération, applicables à tout ensemble de même puissance que A, et destinés à le partager en deux autres de mêmes puissances que bA et rA. Entre ces deux opérations, on aura donc les relations symboliques :

De même, on peut interpréter les lettres a et p comme deux signes d'opération, applicables à tout ensemble de même puissance que B, par exemple bA, et fournissant respectivement deux ensembles abA e't pbA de mêmes puissances que aB et pB respectivement. On aura encore