Fonction exponentielle, — Considérons la série

En vertu du second critère de Caucliy (n" 364), ^^^^ ^^^ absolument convergente pour toute valeur de .y. En effet, le module de 1:1,2+ 1 : ii)i est égal à | a- | : n et tend vers zéro avec i : n, quel que soit .v. Cette série jouit de la propriété de se rejDroduire par dérivation et l'on a /"(O) = i. Ces deux propriétés suffisent pour montrer que la série a pour somme e^. En effet,

Donc f(.\)e-^ est une constante. Faisant .y = 0, on voit que cette constante est i. Donc f{x) =^6-^.

395. Fonctions circulaires. — Considérons les deux séries, dont la seconde est la dérivée de la première,

Elles convergent pour toute valeur de .v comme la précédente, et l'on a

Cp%Y) = -o(A-), 'f(0) = 0, r'(0) = I.

Je dis qu'il en résulte (f{x) ^ siiiA'.

Il suffit de remarquer que l'on aura nécessairement

cp(.v) cos A- — 'f '(a) sin .Y = 0, cp(A) sin a + 'f'{x) cos a = i.

En effet, les premiers membres sont des constantes, car leurs dérivées s'annulent en vertu des propriétés de f. En faisant A = 0, on voit que ces constantes sont 0 et i. On tire alors des deux équations précédentes !i;(a) = sin a et c5'(a) =^ cos a.

396. Séries logarithmiques. — Pour développer Log (i + a), cherchons une expression particulière du reste E». Pour cela, partons de l'identité

Intégrons les deux membres de 0 à .y, ce qui suppose a > — i ; l'intégrale du dernier terme sera Eh^ H vient ainsi

(1) Log(i + A) = A -^ + Ç- ... + (- i)H-i :^ + E„.

Servons-nous du tliéorème do la ino3'^onue pour simplifier Un ; nous pouvons écrire

nn = {- 1)" ^~=-j^^ (0 < 0 < i).

Donc K,,i tend vers 0, si | x \ est < i ou si x = i. Si a: =^ — i, la série devient S/i~^ et diverge. Donc le raj^on de convergence de la série (1) est égal à l'unité.

La fonction Log (i + x) est donc exprimable en série illimitée de Maclaurin si l'on a ( — i < .v < i), et la série illimitée diverge dans les autres cas.

Faisant a = i, on obtient la série (non absolument convergente)

Log2 = I— -+^— ...

Le développement de Log ^- peut se déduire de celui de

Log (i -f- x). On peut aussi l'obtenir par un raisonnement analogue au précédent. On a

On multiplie par 2 et l'on intègre de 0 à a ; il vient

(2) Log-t- = .[,v + -+ + ... + __] +E,„

jo I — A- I

et E,,i tend vers 0 si a est compris entre — i et -h i- Dans les autres cas, la série infinie diverge.

C'est la série (2) qu'on applique au calcul des logarithmes des nombres entiers. On fait

X ^ - — T— -, d ou - = — ,

et l'on clioisit les entiers \) et q de jnanière que | a | soit < i. On a

Logp --= Log g + 2 ^^-r^l-V'.i ^-—^ +

p + q ^\p-\-qJ 5\p-\-q.

Cette formule suffit pour le calcul des logarithmes des nombres entiers, car elle fait dépendre le calcul du logarithme de/>

de celui d'un nombre inférieur q, et le logarithme de i est connu. En particulier, si p = 2, (/ = i, il vient

Cette série, à convergence rapide, convient beaucoup mieux au calcul de Log 2 que la première qui converge lentement.

397. Développement de l'arc-tangente. — Ce développement s'obtient comme le précédent. Partons de l'identité

Intégrons-la de 0 à a- ; il vient (0 < 0 < i)

y-'i y-i y-in—i

(3) arc tg .V -= a -^ + ^ - ... + (- i)»-^ ^.zry + ^n ,

(l)« ic2«+l

i + 9ix;2 2n + I

Le reste K.„ est inférieur en valeur absolue au premier terme négligé ; il tend vers 0, si | .v | ne surpasse pas l'unité. Donc arc tg A" est représenté par la série illimitée si a varie entre — I et I, limites comprises. Le rayon de convergence est égal à l'unité, car c'est celui de la série dérivée S( — a^)".

En particulier, pour a -= i, on trouve la formule de Leibniz

Calcul de tt. — La série (3) peut servir au calcul de tt de la manière suivante. On calcule d'abord l'arc «p dont la tangente est I : 5. La formule donne

o On a ensuite

i-mH(i)'+-

2tg9 5 ^ , 2 tg 29 120

te- 2© = 5 iL := — te; 4 cp = — ^ — = ,

fe ' I — tg''© 12' "^^^ I— tg'^2cp 119d'où

f TT^i tg4(p — I I

On conclut de là, par la formule (3),

On obtient ainsi la formule de Machin :

398. Série du binôme. — Si m est égal à 0 ou à un entier positif, ou sait par ralgèbre que (i -f a')'" se réduit à i ou se développe en un polynôme ordonné suivant les puissances de .y. Laissons ce cas de côté. Soit m un nombre positif non entier ou un nombre négatif. Considérons la série illimitée

Èun= I + /"i.v + in^x^ + ... + /n„.v» -|- ...

dont les coefficients, formés comme ceux du binôme, sont

aucun des coefficients ne sera nul.

Le rayon de convergence est égal à la limite du rapport de deux coefficients consécutifs pris en valeur absolue (n° 384). Il est donc égal à l'unité, car on a, pour n infini,

lim

nini

lim

La série converge si | a- | est < i et diverge si | a | > i. Quant au cas où a --= ± i, nous l'examinerons au n'^ 4^)o.

Nous allons maintenant prouver que si | a | est < i, la série du binôme a pour somme (i -|- a)-« et en déterminer le reste R„ .

A cet effet, soit /"(a) la somme des n premiers termes :

/•(a-) = I + m,x -r m,x^ + ... -I- /?in-iA-»-^ En observant que deux coefficients consécutifs satisfont à la condition

nnin— {m — 7i + i) m^-i = 0,

on vérifie de suite l'identité mf{x) — (i 4 -v) /"'(a) - (m — 71 + i) m„-iA»-i - n ninX''-'. En vertu de cette identité, on a

d'où, en intégrant de 0 à a (ce ([ui suppose a > — i si m est > 0),

f(x) [^ x"-i dx

W (TT^.- '"-"'"■' i(ï+ïcFTT

et, eu remplaçant f{x) par son développement,

/ (i 4- A-r -- I + ni,x -1- m.x"- -[-.,. + m„ ,x^^- ' + Bn

{ «■•="'""('+-)"'.( (^.|Sr-

En faisant sortir le dénominateur du signe d'intégration par le théorème de la moj'enne, on obtient l'expression simplifiée (0 < 9 < i)

Si X est > — I, cette expression montre que R^ tend vers zéro, avec le premier terme négligé /«»a''S dans tous les cas de convergence, donc, en particulier, si ;x; est aussi < i.

Cas PARTICULIER. — Si (m + i) est positif et < i, on peut encore mettre l'expression du reste sous une forme utile. Supposant toujours a: > — i, on a, par le cliangemeut de la variable d'intégration a' en tx, et grâce aux deux liypotlièses précédentes,

la dernière intégrale se calculant par parties.

Portant cette valeur dans (5), on obtient la formule suivante, qui suppose donc m négatif et > — i :

(7) ^^n = 0(- xy{i + x)»^ (0 < e < I).

399. Ordre de grandeur des coeflBLcients de la formule du binôme. — Nous allons montrer que l'on peut poser

hn tendant vers une limite finie et différente de 0 quand n tend vers l'infini.

A cet effet, observons que l'on a {n étant supposé > m h i)

nin D'ailleurs, en développant suivant les puissances de (i : n) par

la formule de Taylor et eu s'arretant au deuxième ordre, on peut poser, ).„ gardant une valeur finie quand n tend vers l'infini.

Il vient donc m,

vn -h ly

Faisant n = 2, 3,... n et multipliant les résultats entre eux, on a

d'où, en comparant à la formule (8),

Cette quantité tend pour n ^- 00 vers une limite finie et non nulle, car 2/1 : {n 4- i) tend vers 2 et la série T.Q^n' n'^) est convergente comme il(i : n^). Notre formule (8) est donc justifiée.

400. Cas de convergence de la série du binôme quand .v --= ± i. — Si l'on fait ;x: = ± i dans la série du binôme, elle devient (les signes se correspondant)

I ± «îi + m,, ± /jjg + m^ ± ...

Si m est positif, la série est absolument convergente comme la série ^{hn : n»'+0-

Si m est < — i, le rapport | m^ : /n»-! | est ^ i, les termes ne tendent pas vers 0 et la série est divergente.

Reste donc à examiner le cas où m est compris entre — ^ i et 0. Dans ce cas, les termes vont constamment en décroissant en valeur absolue, car le rapport | /7î„ : nin-i \ est <: i ; et les termes tendent vers 0 comme /?„ : /i"'+', de sorte que la convergence ne peut être absolue. La série converge pour x = -f- i, auquel cas les termes sont à signes alternés ; elle diverge si .v = — i, auquel cas les termes sont tous positifs.

Remarque. — Si m est positif et a- égal à — i, l'expression (5) de Rn (n" 898) prend la forme O.co , ce qui permet de se débarrasser du signe d'intégration. On fait tendre .v vers — i et l'on

applique la règle de l'Hospital à l'expression mise sous la forme co : 00 ; on trouve

401. Développement de l'arc-sinus. — Eemplaeons a: par — .v-, faisons m == — - dans la formule du binôme et prenons la valeur (7) du reste ; nous trouvons

en désignant par A*!! le x3roduit des entiers non supérieurs à k et de même parité que k (n*' 235). Intégrons de 0 à x, il vient

,,,x . , »v^(2A'— i)!! x^f'+' , .r-^x-'Hlx

(11) arc sm .v = x ^ 1 ^^t-xTT j— ^ h & ,

(2A)!! 2A + I jo Vi— ^'

ce qui montre que l'arc sinus est développable pour toutes les valeurs de a- entre — i et h i. Mais le développement reste légitime à ces lin)ites, car, si a* = i, on a (n" 236) *

r^x^^^dx (2/i — i) ÎItt

/oVl— A-2 (2«)!! 2

et cette quantité tend vers 0 avec le coefficient de a-^» dans la série (10).

On peut donc faire a- = i et l'on trouve la série :

402. Développements en séries des intégrales elliptiques complètes (n" 339). — Soit A- une quantité < i ; en remplaçant .v par Asincp dans la formule (10), il vient

^ = I 4- ^A-^sin"=p +^A^sin^(p -h ...

Vi — A" sin2 cp 2 '2.4

Cette série converge uniformément dans tout intervalle en vertu du théorème du n" 376, car elle converge si sin (p =- [, ce qui maxine tous les termes. Intégrons-la donc de 0 à ix : 2, il vient

F,(A-)=Lj£==»"ri+ri)\-M-r^YA-'+...l