FONCTIONS ENTIÈRES. EXPONENTIELLES IMAGINAIRES

D'antre part, en remplaçant .v par — k^ sin' ^ dans le développement de y i -(- "^^j on trouve la série, uniformément convergente pour toute valeur de tp,

Vi — ^^ sin^ cp =- I A-'^sin^cû V^''sin^co V7:A"^sin^co— ...

et, en intégrant de 0 à tc : 2,

Toutes ces séries convergent rapidement si A* est petit.

§ 6. Fonctions entières élémentaires.

Exponentielles imaginaires.

403. Définitions. Formules d'Euler, — Nous savons (n''^ 894 et SgS) que, z étant réel, on a

(1) e^ = S ^, cos 2= SC- lYj^y, sin2 =S(-i)«^— ^. ^ ' o n\ o (2/1)! o (2;i-hi)!

Ces séries convergent pour toutes les valeurs réelles ou complexes de z. Elles définissent donc des fonctions entières (n*^ 384). Il ^^* naturel de conserver, pour représenter ces fonctions, les mêmes symboles dans le cas où la variable est complexe que dans celui où elle est réelle. Nous prendrons donc les équations (1) comme définitions de e^ , sin z et cos z pour toutes les valeurs, réelles ou complexes, de 2.

On vérifie directement par ces définitions que l'on a

(2) cos ( — z) = cos z. sin ( — z) -- — sin z,

(3) e^' = cos z -h i sin z, e-^^ ^ cos z — i sin z.

De là, les formules fondamentales d'Euler :

(4) cos 2; = - (e^* + e--0, siii:s = -r- (e^» — e-''%

qui ramènent les fonctions circulaires à la fonction exponentielle.

404. Généralisation des propriétés fonctionnelles de l'exponentielle et des fonctions circulaires. — En dérivant les séries (1), on obtient immédiatement, comme pour z réel,

(5) D.e^ = e- , D.cos z =■- — sin z, D sin ;s = cos z.

Les règles de dérivations des fonctions composées subsistent sans difficulté quand les variables s nt complexes, car la définitian générale de la dérivée est la même qu(i quand les variables sont réelles.

Remplaçons, dans la série e^ , z par la somme z -{- z' de deux quantités complexes. On peut ordonner la série ainsi obtenue suivant les j)uissances de z. En effet, quand on a remplacé toutes les puissances de {z ■-\- z') par leurs développements, la série demeure absolument convergente. Elle converge effectivement quand on remplace z Qt z' par leurs modules r et r', ce qui donne une série à termes positifs. Or, dans une série absolument convergente, l'ordre des termes est indifférent (n° SyS).

Le développement de e^+^' suivant les puissances de z est donné par la formule de Maclaurin. Comme toutes les dérivées sont égales à e^' pour ;s ^ 0, il vient

(6) e-+^' = e^'fi+^+^'

Donc toutes les propriétés fonctionnelles de l'exponentielle réelle s'étendent à l'exponentielle imaginaire, car elles se déduisent dé l'équation i:»récédente et de la condition e" = i.

On vérifie l'exactitude des équations :

, , sin {z + z') = sin z cos z' -{- cos z sin z' ,

cos {z -\- z') = cos z cos z' — sin 'z sin z' ,

en remplaçant les sinus et cosinus par leurs expressions (4) et en tenant compte de l'équation (6). Donc tontes les propriétés fonctionnelles des lignes trigonom étriqués réelles s'étendent au domaine complexe, car elles se déduisent des relations ^vécédentes en y joignant les équations (4) et les conditions :

sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin - =• i, cos - = 0.

405. Décomposition des fonctions précédentes en leurs parties réelles et imaginaires. — Soit z = .v H- yi, x et y étant réels. Il vient, par les équations (6) et (3),

(8) e^ = e^+yi = 6'^ e^' = e'^ (cos y + i sin y).

Cette formule montre que e^ a x^our module e^' et pour argu-