FONCTIONS ENTIÈRES. EXPONENTIELLES IMAGINAIRES

ment y\ Comme e'^ne peut s'annuler .v étant réel, e= ne peut s'annuler pour aucune valeur réelle ou complexe de z.

L'équation (8) montre que e- est une fonction périodique de période '2~i, c'est-à-dire que, si A* est entier, l'on a

Réciproquement, si l'on a e'*+- = e"-^ , z sera un multiple de utt/. En effet, cette équation donne

e^ (e-' — i) = 0, d'où e^ = i, e^(cos y + i sin y) = i,

d'où A- = 0 et y = 2 A*-.

Les équations (7) et (4) donnent maintenant :

sin (.V + yi) =^ sin a" cos yi + cos a sin 3-/

= sm A \- i cos A .

cos (a -]- yi) --= cos a cos yi — sin a sin yd

ev -f e~y . . ey — e-y = cos A 1 sm A .

Les modules du sinus et du cosinus se déduisent de là : I sin^. i = (^^:^)Wa+(^^:^Jcos'^ A

^-Z-I^y+sin^x-, 2 J

„ , fey-Ve-y\ „ , fev-e-yy- . , I cos"0 I = ( ) cos- A 4- f ^ 1 sin^A

( ev— e-y y

Ces formules montrent que le sinus et le cosinus ne peuvent s'annuler que si y = 0. Donc toutes les racines de ces fonctions sont réelles et, par conséquent, elles sont connues.

406. Fonctions hyperboliques. — On appelle sinus et cosinus hyperboliques les deux fonctions :

/■./^^ 01 sin /s e- — e-^ „, . e^ ^- e'^

(10) Sli^ ^ r — --= , Clis =- cos SI = .

Ces fonctions ont pour dérivées :

D. Sli:s = Chz, D. Clis; = Slis.

Elles satisfont à toute une série de formules analogues à celles de la trigonométrie ordinaire. La trigonométrie hyperbolique n'est pas distincte de la trigonométrie ordinaire. A toute formule de celle-ci correspond une formule de la première, qui s'obtient en rendant les variables purement imaginaires. En vertu des formules (10), le principe de transformation est celui-ci:

Toute formule de la trigonométrie du cercle en donne une de la trigonométrie hyperbolique en y remplaçant cos c par V\\z et sin z par i S lis.

Bien entendu, cette régie ne s'applique qu'aux fonctions rationnelles en sin z et cos z. Ainsi, on tire des formules (7)

Sli(s+5')=Sli5Clis'=-Cli;3Slis, Ch(s-f0')=Cli2;Clis' + SlicSli;3',

et la relation sin^ z + cos^z = i donne

Ch^s — Sli'-^s = I.

Les fonctions étudiées dans les numéros précédents sont les plus simples des fonctions d'une véritable complexe. La théorie générale de ces fonctions ne sera pas exposée ici.