I --=: fl + p, P = I ^i

Ceci entendu, la démonstration est très simple.

Nous pouvons former une suite illimitée d'ensembles ayant alternativement mêmes puissances que A ou que B comme c'est indiqué ci-dessous :

A, bA, abA, ababA,...

Chaque ensemble contient tous les suivants. Désignons par D l'ensemble (infini, fini ou nul) des éléments communs à toute la suite. On peut obtenir D, en supprimant dans A : d'abord les éléments étrangers à bA, puis les éléments de bA qui sont étrangers à ahA, etc. Il vient

D - A — (A — èA) — (/;A — abA) - ...

Ces parenthèses sont alternativement des ensembles des types r et p ; on peut donc écrire

A ^ D + rA 4 pbA + rabA + pbabA + ...

Supprimons rA de part et d'autre et intervertissons les termes en r et en p, il viendra, en observant que A — rA est bA,

èA = D -f rabA + pbA + rababA + p^^a^-A -\- ...

On voit ainsi que A et bA sont décomposés en une infinité dénombrable d'ensembles ayant deux à deux même puissance. On établira la correspondance entre A et bA en faisant correspondre les éléments des ensembles' de même rang dans les deux sommes écrites ci-dessus. Tous les éléments auront leurs correspondants.