ENSEMBLES DE POINTS

53. Puissance de l'ensemble des fonctions. — Comme application du théorème précédent, montrons que Venscmhle des fonctions continues d'une variable a la puissance du continu.

Une fonction continue de x est définie par les valeurs qu'elle prend aux points rationnels, donc par un ensemble dénombrable de paramètres (soumis encore à certaines restrictions). La puissance de l'ensemble est donc au plus égal à celle du continu (no 5i, g). Elle ne peut être moindre, car, à chaque nombre différent N, on peut faire correspondre une fonction continue différente, prenant la valeur N pour x = a. Donc cette puissance est égale à celle du continu.

D'après cela, V ensemble de toutes les fonctions continues d'une variable peut être compris dans une famille F (x, c) à un seul paramètre arbitraire (chaque fonction correspondant à une valeur particulière du paramètre). Toutefois ¥{%, c) ne sera pas fonction continue des variables x, c, car alors ¥{x, x) -\- 1 serait une fonction continue non comprise dans la famille (elle diffère de chaque ¥{x, c) pour x =^ c).

Par contre, V ensemble de toutes les fonctions discontinues de x a une puissance supérieure à celle du continu. En effet, il est impossible de les comprendre toutes dans une famille ¥(x, c) dépendant d'un paramètre c qui varie de 0 à I, puisque F(.r, x) + i n'est pas comprise dans la famille.

!:; 9. Ensembles de points.

54. Dimensions. Puissance des ensembles de points. — Soient x, y,... des variables réelles. Chaque système de valeurs particulières de ces variables s'appelle un point : les valeurs de x, y,... sont ses coordonnées. Un ensemble de points a autant de dimensions qu'il entre de variables dans la définition de ses points. L'ensemble est linéaire s'il n'y a qu'une variable, et les points sont alors situés sur une droite. Les points sont dans un plan s'il y a deux variables ; dans l'espace, s'il y en a trois ; dans un espace à n dimensions, s'il y en a n.

On peut considérer l'ensemble des points d'un carré dans le plan, celui des pomts d'un cube dans l'espace et, plus généralement encore, celui des points d'un cube dans l'hyperespace à n dimensions. On pourrait penser que la puissance de l'ensemble augmente avec ses dimensions, mais il n'en est rien. Tous ces ensembles ont la puissance du continu (no 5i, g), parce qu'ils sont définis par un certain nombre de paramètres (leurs coordonnées) qui varient dans un intervalle, par exemple entre 0 et i. Donc le nombre des dimensions est sans influence sur la puissance (Cantor).

55. Bornes d'un ensemble de points. Point-limite. Ensemble dérivé.

— Un ensemble est borné si chacune des coordonnées variables est bornée et les bornes des variables sont les bornes de l'ensemble. En particulier, un ensemble linéaire est borné par deux valeurs « et è de x.

Soient {a, b,...) et {a', b',...) deux points^ ct^' ; on appelle distance des deux points la quantité

PP' - \l{a'-aY + {b'-bY + ...

Si l'ensemble est borné, la distance de deux de ses points l'est aussi et elle a une borne supérieure que l'on appelle le diamètre de l'ensemble.

Etant donnée une suite illimitée depoints différents ^i, pz,--- pn,... on dit qu'un point p est la limite de cette suite, si la distance ppn a pour limite 0 quand « tend vers l'infini.

On nomme point-limHe d'un ensemble E tout point p (appartenant ou non à E) qui est la limite d'une suite de points de E. Donc, sip est un point-limite, on peut, quelque petit que soit o positif, trouver un point de E dont la distance à p soit <o. Réciproquement, tout point p jouissant de cette propriété est un point-limite.

Observons que, si l'on peut trouver un point de E dont la distance à ^ soit < 0 quel que soit o, on peut en trouver une infinité. C'est pourquoi on donne aussi aux points-limites le nom de points d' accumulation de l'ensemble. Les points de E qui ne sont pas des points-limites sont des pcitits isolés.

I/ensemble des points-limites de E est un nouvel ensemble que l'on désigne par E' et que l'on appelle le dérivé de E.

56. Ensembles complémentaires. Points-frontières. Distance d'un point à un ensemble. — Soit E un ensemble. Si cet ensemble ne contient pas tous les points possibles (dans l'espace considéré), les points qui n'appartiennent pas à E forment un nouvel ensemble Ei. Les deux ensembles E et Ei sont appelés complémentaires.

Soit p un point de E, on dit qu'il est intérieur à E et extérieur à Ei si l'on peut assigner un nombre positif o, tel que tout point p' dont la distance à p est <o soit aussi un point de E.

Tout point qui n'est ni intérieur ni extérieur à E ne l'est pas non plus à El et s'appelle un point-frontiére de chacun des deux ensembles.

Soit q un point non compris dans l'ensemble E ; la distance du point ^ à un point quelconque /» de E a une borne inférieure (qui peut être nulle). Cette borne c'est la distance du point q à l'ensemble E.

Si E et H sont deux ensembles sans points communs, la distance des deux ensembles est \a home inférieure de la distance entre un point de l'un et un point de l'autre.

D'après cela, un point extérieur à E est un point dont la distance à E n'est pas nulle ; un point intérieur, un point dont la distance au complémentaire El n'est pas nulle ; un point-frontière, un point de E ou de Ei dont la distance à l'autre ensemble est nulle. Un point de Ei dont la distance à E est nulle est un point-limite de E. Définissons une fonction

ENSEMBLES DE POINTS 5l

e {x,y...) égale à i en tout point de E, et à 0 en tout autre point : les points-frontières seront évidemment les points de discontinuité de cette fonction.

Tout ensemble compris dans un domaine rectangulaire R et qui ne contient pas tous les points de ce domaine admet au moins un point- frontière.

En effet, soient^ et p' deux points du domaine dont le premier seul appartienne à E. Faisons varier le point {x,y,...) en ligne droite de p à p' : \a. fonction e{x, y,...), qui ne dépend que d'une variable sur cette droite, passera de i à 0. Comme elle ne passe pas par les valeurs intermédiaires, elle est discontinue en un point au moins de cette droite : celui-ci sera un point-frontière.

57. Ensembles fermés. On dit qu'un ensemble E est fermé s'il contient tous les points de son dérivé E'.

Tout ensemble E' dérivé d'un autre E est fermé.

En effet, soient 20 un nombre positif arbitraire et p" un point-limite de E'. Je dis que p" est aussi un point-limite de E. En effet p" est à une distance <ô d'un point p' de E', qui est lui-même à une distance <o d'un point de E. Donc p" est à une distance <2Ô d'un point de E et est un point-limite de E. Donc E', contenant ses points-limites, est fermé.

58. Principe de Bolzano-Weierstrass. — Tout ensemble borné E qui contient une infinité de points, renferme au moins un poiftt-limite.

Considérons, pour fixer les idées, un ensemble borné E à deux dimensions. On peut l'enfermer dans un rectangle R. Divisons ce rectangle en morceaux par des transversales : il y aura au moins un morceau Ri contenant une infinité de points. Divisons, de même. Ri en morceaux plus petits : il y aura encore un morceau Ro contenant une infinité de points. Poursuivons indéfinitivement cette subdivision, de manière à former une suite illimitée de régions Ri, R2, R.j,... contenant toutes une infinité de points, chacune intérieure à toutes les précédentes et décroissant indéfiniment dans tous les sens. Ces régions auront évidemment un point p pour limite. Ce point p sera à l'intérieur de toutes les régions R ou sur leur contour et ce sera un point-limite, puisqu'il y a une infinité de points de E aussi rapprochés de lui qu'on le voudra.

59. Points de condensation d'un ensemble. — On appelle point de condensation (Lindelof) un point p tel qu'il y ait une infinité non dénombrable de points de E à une distance du point p inférieure à ci, quelque petit que soit le nombre positif 0.

Tout ensemble de points E qui n'est pas dénombrable, admet au moins un point de condensation, qu'il soit borné ou non.

Considérons, pour fixer les idées, un ensemble E à deux dimensions. On peut toujours supposer R assez grand pour que l'ensemble des

points de E compris dans un cercle de rayon R autour de l'origine ne soit pas dénombrablc. Sinon, en donnant à R une suite dénombrable de valeurs Ri, R-,,.-- R« .••• croissant à l'infini, on pourrait décomposer E dans une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables, formés respectivement : le premier des points compris dans le cercle de rayon Ri ; le second, des points compris entre les cercles de rayons Ri et Ro ; le troisième, des points compris entre les cercles Ro et R3, et ainsi de suite : l'ensemble E serait dénombrable.

On est ainsi ramené à démontrer le théorème pour un ensemble borné. Il suifit, pour cela, de répéter la démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass {n° 58) en remplaçant les mots : infinité de points par infinité non dénombrable de points et point-limite par point de condensation.

60. Ensembles parfaits. — On appelle er]semh\e parfait un ensemble qui coïncide avec son dérivé E'. D'après cela, un ensemble parfait est un ensemble fermé qui ne contient pas de point isolé.

L'ensemble K des points de condensation d'un ensemble E non dénombrable, est un ensemble parfait.

Il faut prouver : 1°) que K est fermé ; 2°) que K ne contient pas de point isolé :

D'abord tout point-limite, p' , de K appartient à K, car il y a des points de K aussi voisins qu'on veut de p' , donc aussi une infinité non dénombrable de points de E, et p' est un point de condensation. Donc K est fermé.

2° Il faut montrer que tout point p de K n'est pas un point isolé. Soient 0^, 0,,,... o„ ,... une suite de quantités positives décroissantes ayant pour limite 0 ; supposons, par impossible, qu'il n'y ait pas d'autre point de condensation que p dans un rayon Si autour de ce point. L'ensemble des points de E situés à une distance <0i du point p se partagera dans une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables, formés respectivement des points dont la distance à,/» est comprise entre o-^ et Oo, entre Sg et Ô3, etc. Donc cet ensemble serait dénombrable et /> ne serait pas un point de condensation de E.

61. Théorème de Caiitor-Bendixson, — 7 ont ensemble fermé F est dénombrable ou peut se décompose'' en un ensemble parfait P et un ensemble dénombrable D.

J'observe d'abord que F (supposé non dénombrable) contient tous ses points de condensation. En effet, tout point de condensation de F est évidemment un point-limite de F", donc un point de F (car F, étant fermé, contient ses points-limites).

Soient donc P l'ensemble des points de F qui sont des points de condensation, et D l'ensemble des autres points de F ; P est parfait (n° 60) ; reste à montrer que D est dénombrable.

ENSEMBLES PARFAITS LINEAIRES 53

A cet effet, je remarque que, quelque petit que l'on se donne le nombre positif Ô, l'ensemble des points de ^ dont la distance àP (no 56) surpasse ô, est dénombrable ; sinon cet ensemble admettrait un point de condensation (no 5q), il renfermerait des points infiniment voisins de ce point de condensation (qui est un point de P) et sa distance à P ne serait pas > o.

Ceci posé, D peut se décomposer dans une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables formés respectivement : le premier des points dont la distance à P surpasse o ; le second des points restants dont la distance à P surpasse o : 2 ;... le n'^""^ des points restants dont la distance à P surpasse 0:2", etc. On atteindra bien anisi tous les points de D, car un point déterminé qui ne serait pas. à distance finie de P serait un point-limite de P et appartiendrait non à D mais à P qui est parfait. Donc D est dénombrable.

62, Structure d'un ensemble parfait linéaire. — Un ensemble linéaire est un ensemble de points sur une droite, ou un ensemble de valeurs d'une seule variable. Nous nous contenterons de considérer les ensembles bornés, ce qui ne porte pas atteinte à la généralité des conclusions.

Soit P un ensemble borné et parfait, il sera borné par deux points a Q\.b {a <b) qui lui appartiennent (car un ensemble parfait contient ses points-limites). Si P comprend tous les points de l'intervalle ab ou, plus généralement, d'un nombre, fini et déterminé, d'intervalles compris entre a et b, l'ensemble est complètement défini par la connaissance de ces intervalles. C'est l'hypothèse la plus simple. Supposons que ce ne soit pas le cas.

Soit q un point de l'intervalle ab qui n'appartient pas à P ; ce point partage l'ensemble P en deux autres : un ensemble Pi formé des points de P qui sont à gauche de q et un ensemble P^ formé de ceux qui sont à droite de q. Les deux ensembles sont parfaits. L'ensemble Pj a pour borne supérieure un point M de P et l'ensemble Po, pour borne inférieure un point N de P. Donc ni M ni N ne coïncide avec q ; et q tombe dans un intervalle IMN dont les extrémités seules appartiennent à P. On dit que l'intervalle MN ainsi défini est un intervalle coniigu à l'ensemble P (Baire). Tout point de l'intervalle ab qui n'appartient pas à P est donc inténeur au sens étroit à un intervalle contigu à l'ensemble P.

Ceci posé, l'ensemble des intervalles contigus à l'ensemble P est nécessairement dénombrable, car, comme ces intervalles n'empiètent pas, il n'y en a qu'un nombre limité dont l'amplitude surpasse un nombre donné. On s'en assure en i-emarquant que la somme de ces amplitudes ne peut surpasser celle de l'intervalle ab qui contient tous ces intervalles. Donc ces intervalles peuvent se dénombrer en les rangeant par ordre de grandeur décroissante.

54 l^TKoi)UCTION

De là le théorème de Cantor :

U71 ensemble parfait P s'obtient eu supprimant de V intervalle ab qui le contient tous les points intérieurs à un ensemble dénombrable d'intervalles !\IN sans points co^nmuns, et même sans extrémités communes (car P, étant parfait, ne peut contenir de point isolé).

Réciproquement, si l'on supprime de l'intervalle ab tous les points intérieurs à une infinité dénombrable d'intervalles sans points communs ni extrémités communes, V ensemble P restant sera parfait.

D'abord il reste un ensemble de points P, puisque les extrémités des intervalles ne sont pas enlevées ; d'où il suit encore qu'un intervalle qui ne renferme plus de points de P a été enlevé en une fois. Montrons que P est : 1° fermé ; 2" sans points isolés :

1° Tout point étranger à P est intérieur (au sens étroit) à un intervalle enlevé et ne peut être un point-limite de P. Donc P est fermé.

2" Un point isolé de P ne pourrait être que l'extrémité commune de deux intervalles enlevés. Donc P est sans points isolés.

63. Ensembles parfaits linéaires qui ne sont denses dans aucun intervalle. — On dit qu'un ensemble est dense lorsque, entre deux points de l'ensemble, on peut toujours en trouver un troisième et, par suite, une infinité. On peut, par le procédé de suppressions indiqué ci-dessus, construire des ensembles parfaits qui ne sont denses dans aucun intervalle. En voici d'ailleurs un exemple très simple. Nous nous bornons, pour simplifier, à l'intervalle 01.

L'ensemble P de toutes les fractions décimales ( limitées ou non) qui s'écrivent avec les chiffres 0 et 1, est parfait et nest dense dans aucun intervalle (*).

En efiet, cet ensemble est fermé, car une fraction étrangère à l'ensemble n'est pas limite de fractions de l'ensemble. Il ne contient pas de point isolé, car on peut, en modifiant des décimales très éloignées, altérer aussi peu qu'on veut une fraction de l'ensemble. Il est donc parfait. Enfin il n'est dense dans aucun intervalle, car il y a, dans tout intervalle, des fractions qui s'écrivent avec d'autres chiffres que 0 et i et appartiennent, par conséquent, à des intervalles contigus à P.

64. Ensembles ordonnés et semblables. Application de deux ensembles

l'un sur l'autre. — Un ensemble E est ordonné, lorsque ses éléments

(*) Plus généralement, est dacs ce cas Tensemble de toutes les fractions illimiiées dans la base de numération B qui prennent une partie seulement des chiffres 0, i, 2,... B — i (au moins deux et le chiffre B — 1 ne peut être pris sans 0). — Est encore dans ce cas l'ensemble de toutes les fractions continues illmitées qui s'écrivent avec un nombre limité de quotients incomplets différents. — La démonstration se fait comme celle du texte. — Il serait facile de généraliser encore bien davantage ces modes de génération.

ENSEMBLES PARFAITS LINEAIRES 55

sont rangés dans un ordre déterminé, de telle sorte que, étant donnés deux éléments quelconques a et b de l'ensemble, l'un précède l'autre. Cette notion comporte que, si a précède è et si è précède c, a précède c.

Les ensembles de nombres ou de points sur une droite peuvent toujours être ordonnés en rangeant les nombres par ordre de grandeur.

Lorsque deux ensembles sont ordonnés et de même puissance et que l'on peut établir, entre leurs éléments, une correspondance uniforme dans laquelle l'ordre relatif des éléments est conservé, on dit que les deux ensembles sont semblables.

La loi qui définit la correspondance s'appelle une application d'un des ensembles sur l'autre.

65. Similitudes de tous les ensembles parfaits linéaires non denses, —

Soient P et P' deux ensembles parfaits linéaires non denses, compris sur les segments ab et a'b' . On peut les appliquer l'un sur l'autre de manière que Vordre de grandeur entre les éléments correspondants soit conservé. Nous allons réaliser cette application en faisant correspondre les intervalles S contigus à P à ceux S' contigus à P', de manière que les intervalles correspondants soient disposés dans le même ordre sur les deux segments ab et a'b'.

Pour cela, faisons correspondre un intervalle Oj de P à un intervalle oj de P' (ces deux intervalles étant le plus grand possible) ; puis un intervalle Ôj entre a et Oj à un intervalle o^ entre a' et Oj, et un intervalle §3 entre ôi et 6 à un intervalle Og entre o^ et b' (tous quatre le plus grand possible). Continuons ainsi indéfiniment à prendre dans chaque ensemble un intervalle (le plus grand possible) entre chacun de ceux déjà choisis et à faire correspondre ceux qui tombent entre les intervalles déjà correspondants ; nous rencontrerons tous les intervalles et nous les disposerons dans le même ordre.

L'application de P' sur P en résulte, car, les extrémités des intervalles se correspondent uniformément dans le même ordre et, avec elles, tous leurs points-limites, puisque les ensembles sont fermés. Or ce sont là tous les points de P et P' ; donc la correspondance entre P et P' est parfaite.

Deux ensembles parfaits non denses quelconques sont donc applicables l'un sur l'autre avec conservation des points- limites.

66. Application (incomplète) d'un ensemble parfait non dense sur le continu. Puissance des ensembles parfaits. — Une application rigoureuse d'un ensemble P parfait et non dense sur le segment oi est impossible, parce que les extrémités d'un mtervalle contigu à P sont deux points de P entre lesquels il n'y en a pas d'autre, tandis qu'entre deux nombres, il y en a toujours une infinité. Mais l'application peut être réalisée, sauf pour l'infinité dénombrable de ces extrémités. Nous allons, en effet, démontrer le théorème suivant ;

Si P est un ensemble parfait non dense, on peut faire correspondre uniformément et DANS LE MÊME ORDRE DE GRANDEUR ks uombres de V ensemble P et ceux de l'intervalle oi, sauf que les deux extrémités d'un intervalle contigu à P correspondront au même nombre du segment oi.

Comme deux ensembles parfaits non denses sont applicables l'un sur l'autre, il suffit d'établir le théorème pour un ensemble particulier.

Considérons donc l'ensemble de toutes les fractions décimales, limitées ou non, dont le développement ne contient que les deux chiffres différents 0 et I. C'est un ensemble parfait non dense (no 63). Pour réaliser la correspondance par ordre de grandeur avec le segment oi, il suffit de faire correspondre chaque fraction décimale à celle qui s'écrit de la même manière dans la base de numération 2. Chaque nombre du segment oi s'obtient ainsi une fois, sauf les nombres rationnels dont le dénominateur est une puissance de 2. Chacun de ceuxci admet deux expressions différentes dans la base 2, l'une finie et l'autre pas (par exemple, o.i et o,oiii...). Ces deux expressions représentent dans la base lo deux nombres diftérents, entre lesquels ne peut donc exister aucun autre nombre de l'ensemble P. Ces deux nombres différents sont, par conséquent, les extrémités d'un intervalle contigu à P et ils ont le même correspondant sur le segment oi.

Un ensemble dénombrable pouvant être négligé, on conclut de là que tout ensemble parfait a la puissance du continu. (Le théorème est évident pour un ensemble parfait dense, celui-ci contenant un intervalle entier).

67. Fonctions définies par la correspondance précédente. — La corres pondance par ordre de grandeur entre les nombres r d'un ensemble parfait non dense P et tous ceux x du segment oi, définit une fonction v = tp {x) discontinue et croissante dans toute portion du segment oi. La fonction est ambiguë en chaque point de discontinuité, où j' peut désigner les deux extrémités de l'intervalle contigu correspondant, mais on lève l'ambiguitè en choisissant toujours l'extrémité de gauche.

D'autre part, si l'on considère x comme fonction àey, on obtient une fonction continue x ^^'h {y), stationnaire ou croissante, mais qui possède des intervalles de stationnement entre deux valeurs quelconques de X. On suppose, en effet, x stationnaire chaque fois que y parcourt un intervalle contigu à P.

^10. Fonctions considérées dans un ensemble.

68. Définitions. — Une fonction/ d'une ou plusieurs variables est définie sur un ensemble E de points (chaque point ayant les valeurs des variables pour coordonnées) si l'on donne la valeur de cette fonction en chaque point de l'ensemble.

Les bornes supérieure ou inférieure et Voscillation de la fonction/ dans E se définissent comme dans le cas d'un intervalle (n" 23).