FONCTIONS CONSIDÉRÉES D4.NS UN ENSEMBLE

Soit p un point-limite de E. Si E est fermé, ce sera un point de E non isolé ; mais nous ne supposons pas que E soit fermé, de sorte que p peut être hors de E. Considérons l'ensemble des points de E dont la distance au point p ne surpasse pas un nombre positif donné ô. L'oscillation de /dans cet ensemble partiel tend vers une limite déterminée (ou reste infinie) quand ô tend vers 0, cette limite (ou l'infini) est Voscillation {relative à E) de f au point-limite p .

Si cette oscillation est nulle, on dit que /est continue {relativement à E) au point p. — En particulier donc, la fonction/est continue en un point ^ de E non isolé, quand la valeur de/ en un point de E qui tend vers p a pour limite la valeur de /au point p.

Si la fonction /est continue (relativement à E) en chaque point non isolé de E, on dit qu'elle est continue sur E.

Il résulte de ces définitions, comme au \\° aS, que la somme, le produit, le quotient de fonctions continues sont encore continues {en un point ou sur E), sauf si une fonction prise comme diviseur s'annule.

Lorsqu'une fonction n'est pas continue (en un point ou sur E), on dit qu'elle est discontinue (en ce point ou sur E, toujours relativement à E).

69. Fonctions discontinues sur un ensemble parfait. — Considérons maintenant un ensemble parfait P, auquel cas les points-limites se confondent avec ceux de l'ensemble.

Pour faciliter le langage, appelons portion de P la partie de P comprise dans un domaine (d'autant de dimensions que P) contenant intérieurement un point au moins de P. Cette portion de P (contenue dans un intervalle, une aire,...) sera encore un ensemble parfait.

Quand la fonction/ est discontinue sur P, deux cas seulement sont possibles :

1°) Quelque petit que soit t positif, il y a, dans toute portion de P, des points de P où l'oscillation de /(relativement à P) est < s. On dit, dans ce cas (Dini), que f est ponctuellement discontinue sur P.

2°) Il existe une valeur positive de s et une portion de P, telles que, dans cette portion, l'oscillation de/ soit > s en chaque point de P. On dit alors que /est totalement discontinue sur P.

Il y a lieu de remarquer le théorème suivant :

Si la fonction f est ponctuellement discontinue sur un ensemble parfait P, il y a dans toute portion de P des points où f est continue.

Pour fixer les idées, considérons un ensemble à deux dimensions. Soit îi, z.^, Zn ,... une suite positive convergeant vers 0. Quand l'oscillation de / est < £ en un point p, on peut décrire autour de p un cercle, tel que l'oscillation de /dans la portion de P comprise dans ce cercle soit < £. Donc, puisqu'on peut, par hypothèse, trouver, dans Vintérieur de tout cercle, un point p satisfaisant à cette condition, on peut former

une suite illimitée de cercles Ci, C^.,... Ck ,..., chacun intérieur à tous les précédents et tels que l'oscillation de/ sur la portion de P comprise dans C« soit < £« . Les centres de ces cercles ont au moins un pointlimite p intérieur à tous les cercles, l'oscillation en ce point sera inférieure à tous les £« (donc nulle) et / sera continue en ce point de P. Comme le même raisonnement s'applique dans toute portion de P, le théorème est démontré.

70. Propriétés des fonctions. — I. Soit F un ensemble fermé ; l'ensemble E des points de F où roscillation (relative à FJ de la fonction f est ^ t, est un ensemble fermé.

En effet, si p est la limite d'une suite de points ^i, p2,--- où l'oscillation de/ est "^ t. p est un point de F où l'oscillation sera évidemment > £. Ce point-limite appartient donc à l'ensemble E.

II. Soit F un ensemble borné et fermé. Si, étant donné un nombre positif z, on ne peut pas lui faire correspondre un notnbre ô, tel que l'oscillation de la fonction f dans toute partie de F de diamètre < o, soit < z, il y a au moins un point de F oti l'oscillation {relative à ¥) de f sera ^ £.

En effet, étant donnée une suite de nombres positifs Oi, Oj,... tendant vers 0, on peut lui faire correspondre une suite de portions de F de diamètres < ôi, < Og,... où l'oscillation est toujours ^ s. Soient px, p2,.-- des points de F pris dans ces portions successives ; F étant borné, ils ont au moins un point-limite p (appartenant à l'ensemble fermé F). Ce point est intérieur à un domaine aussi petit qu'on veut contenant une infinité de portions successives de F où l'oscillation est ;>= t. Elle est donc aussi ^ s au point p.

71. Fonctions continues. — I. Une fonction, continue sur un ensemble borné et fermé F, est uniformément continue sur l'ensemble.

Cela veut dire qu'à tout nombre positif s correspond un nombre ô, tel que l'oscillation de la fonction soit < s dans toute portion de F de diamètre < S, ce qui est un cas particulier du théorème précédent (70, II).

II. Une fonction qui est continue sur un ensemble borné et fermé F. est aussi bornée.

C'est une conséquence de la propriété précédente.

Soit A le diamètre de l'ensemble F ; prenons ô assez petit pour que l'oscillation de la fonction soit < £ dans toute portion de F de diamètre < ô, puis l'entier n assez grand pour que no soit > A ; l'oscillation de la fonction dans F sera < m.

III. Une fonction continue sur un ensemble borné et fermé atteint ses bornes inférieure et supérieure dans l'ensemble. (Même démonstration qu'au no 27, III).

MESURE DES ENSEMBLES LINEAIRES Sg

72. Ensemble d'un seul tenant. — Un ensemble parfait est d'ttn seul tenant, si, étant donnés arbitiairement deux points ^ et ^ de l'ensemble et un nombre positif o, on peut former une suite de points de l'ensemble P\ Pi, p2,--- pn 5 1, allant de ^ à ^ et telle que la distance de deux points consécutifs soit < ô (*).

Avec cette définition, les deux propriétés suivantes s'établissent comme celles V et VI du no 27 :

Si une fonction continue prend deux valeurs de signes contraires dans un ensemble parfait d'un seul tenant, elle s'annule en un point de V ensemble.

Une fonction, contiftue dans un ensemble parfait d'un seul tenant, ne peut passer d'une valeur à une autre dans l'ensemble sans passer aussi par toutes les valeurs intermédiaires.

73. Remarque. — Les définitions et les théorèmes précédents s'appliquent, en particulier, au cas où l'ensemble considéré devient le continu, soit un intervalle, soit une aire, un volume, etc. Les limites de l'intervalle, de l'aire, etc. sont comprises dans l'ensemble s'il est fermé (et, par suite, parfait).

ï^ 1 1 . Mesure des ensembles linéaires.

La question de la mesure des ensembles de points a été posée de diverses manières. MM. Borel et Lebesgue lui ont donné une solution complètement satisfaisante, que nous allons exposer. Mais nous nous bornerons ici aux ensembles linéaires, renvoj^ant au tome II pour l'extension aux ensembles de plusieurs dimensions.

74. Lemmes préliminaires. — Définitions. Nous dirons qu'un ensemble de points E est enfermé au sens étroit dans un ensemble d'intervalles a, si tout point de E est intérieur au sens étroit à l'un au moins des intervalles a, ou bien s'il existe au moins deux intervalles a contigus dont ce point soit la frontière commune. Dans ce second cas, le point est donc intérieur au sens étroit à l'ensemble de deux intervalles a réunis.

Par contre, les points de E sont enfermés au sens large dans l'ensemble des intervalles a, si tout point, de E est intérieur, au sens large seulement, à l'un au moins des intervalles a.

Nous commencerons par un lemme fondamental qui, à part une légère variante dans l'énoncé, est dû à M. Borel. Cette variante n'a aucune importance en elle-même, mais elle facilite l'exposition de ce qui suivra.

(*) Un ensemble fermé doué de cette propriété serait parfait.

6o INTRODUCTION

Lemme I. — Si les points de l intervalle [a, b) sont enfermés au sens étroit dans un ensemble d'intervalles a en nombre infini, on peut extraire de cet ensemble un système d'intervalles a en nombre fini jouissant de la même propriété {Tout point de {a, b) est intérieur au sens étroit à un intervalle '■>■ ou à r ensemble de deux d'entre eux).

Supposons, par impossible, que la proposition ne s'applique pas à l'intervalle {a, b). Divisons cet intervalle en deux autres par son point milieu ; il y aura au moins une des deux moitiés à laquelle le théorème ne s'appliquera pas non plus. Partageons celle-ci en deux autres parties égales et continuons ainsi de suite. Nous formerons une suite illimitée d'intervalles auxquels le théorème ne s'appliquera pas. Ces intervalles successifs de plus en plus petits, chacun contenu dans les précédents, ont pour limite un point X de l'intervalle {a, b). Ce point X appartiendrait donc à un intervalle aussi petit qu'on veut auquel le théorème ne s'appliquerait pas. Mais ceci est impossible, car X est intérieur (au sens étroit) à un intervalle formé d'un ou de deux a et le théorème s'applique évidemment à tout intervalle intérieur (au sens étroit) à celui-ci et contenant X.

Lemme II. ■ — Si tous les points d'un intervalle {a, b) sont' enfermés au sens étroit dans une infinité dénombrable d'intervalles a,i t.,,... la somme Sa des longueurs des intervalles a sera supérieure à la longueur de l'intervalle {a, b).

En effet, tous les points de {a, b) étant intérieurs à un nombre limité des intervalles a en vertu du lemme précédent, la somme de ces intervalles en nombre fini vaut au moins b — a, donc la somme de tous les intervalles dépasse b — a.

Lemme III. — Si tous les points d'un intervalle {a, b) sont contenus dans une infinité dénombrable d'intervalles d'amplitudes ol\, ol.^,... qui n'empiètent PAS LES UNS SUR LES AUTRES (mais peuvent avoir une extrémité commune) et qui sont eux-mêmes compris dans l'intervalle {a, b), on a

t D'une part, quel que soit n, on a évidemment a^ + a^ -f — h «« < b — a ; donc, à la limite, Sa ^ 6 — a.

D'autre part, soit Ej, Sj,... £«,... une suite de quantités positives a3'ant une somme infiniment petite £ ; désignons par ,3i, fij,... la suite des intervalles aj, ag,... respectivement élargis de ^i, t-^,... de chaque côté. Tous les points de (a, b) ét^nt intérieurs aux ,3, on a, par le lemme précédent, 2,ï >^ — a. Mais 23 = Sa -{- 2£ ; il vient donc Sa > è — a — 2£.

Comparons les deux inégalités obtenues, nous en concluons, puisque £ est infiniment petit, que Sa — è — a.

Lemme IV. — Si tous les points d'un ensemble E peuvent être enfermés au sens étroit da-ns un ensemble dénombrable d'intervalles aj, a^,... ils peuvent l'être au même sens dans un ensemble d'intervalles 3^, ,3.,,... n'empiétant PAS et contenus dans les a.

MESURE DES ENSEMBLES LINÉAIRES 6l

On forme, en effet, la suite des intervalles ,3, en retranchant de l'intervalle x„, pour ;/ = 2, 3,..., les parties communes avec les intervalles précédents aj, a,,,... c<«i. On remplace ainsi a« par un nombre limité d'intervalles [3 ou bien on le supprime entièrement. Ainsi un point contenu dans a« au sens étroit, l'est aussi dans l'ensemble limité des p formés avec «i, «o,... y.„.

Remarque. — Si les longueurs des intervalles y. ont une somme finie So(, il est clair que l'on aura S|3 <^ iia.

Lemme \'. — Si tous les points d'un ensemble E sont enfermés dans un ensemble composé de deux infinités dénombrables d'intervalles a,, a.,,.., [Bj (3o,... [les y. n'empiétant pas les uns sur les autres, ni les [B non plus), si de plus les sommes lia, ^|3 des longueurs de ces intervalles ont des valeurs finies, on peut enfermer l'ensemble E dans un système d'intervalles y [n'empiétant pas) contenus dans les a, ,3 de telle sorte que l'on ait

Sa + Sp ^ Sy + S (ap).

On désigne par S (a!B) la somme des longueurs des parties (ajB) communes aux a et aux ,3. On aperçoit d'ailleurs immédiatemment que les (a,3) forment une suite dénombrable d'intervalles n empiétant pas.

Pour former une suite d'intervalles y satisfaisant à l'énoncé, rangeons les a, ,3, dans une suite unique

«1) Pi. «2> p2)--- ««, ?«,•••

et supprimons, comme plus haut, dans chaque intervalle de cette suite les parties communes avec les intervalles qui précèdent. Chaque intervalle a„ ou [B» sera ainsi (s'il n'est pas supprimé) remplacé par un nombre limité d'intervalles y. En procédant ainsi, nous rencontrerons successivement et une seule fois chaque partie commune (a^) qui sera retranchée. On aura donc

Sy^Sa + Sp-SKi).

Lemme VI. — Si tous les points de l'intervalle {a, b) sont enfermés dans deux infinités dénombrables d'intervalles ol^, a,,... [3i, po,... contenus dans {a, b), les a n'empiétant pas ni les ,8 non plus ; on a ^rj. + 5.3 = (è — a) + S (ap),

la somme - (a,3) s' étendant à l'ensemble dénombrable des intervalles communs aux a et aux {3, lesquels n'empiètent pas non plus.

C'est la conséquence du lemme précédent, où il faut reihplacer Sy par b — a, en vertu du lemme III [tous les points de {a;b) étant contenus dans les y et tous les y dans [a, b)}.

75. Mesures extérieure et intérieure d'un ensemble. Ensembles mesurables. — Dans ce qui suit, nous ne considérons que -des ensembles bornés et contenus dans un même intervalle {a, b). Un ensemble étant désigné par E, nous appel ons CE son complémentaire relativement à l'intervalle {a, b), c'est-à-dire que CE sera formé des points de (a, b) non contenus dans E.

Soit E un ensemble ; nous pouvons enfermer ses points dans un ensemble fini ou une infinité dénombrable d'intervalles Xi, ao,... Soit Sa la somme des longueurs de ces intervalles. Par définition, la mesure extérieure nie E est la borne inférieure de toutes les sommes Sa possibles. D'après cela, quelque petit que soit le nombre positif £, pour tout ensemble E, on peut trouver un système d'intervalles a,, a^,... contenant tous les points de E et tel qu'on ait

nie E <^ Sa < nie E -j- £.

Dans cette définition de la mesure extérieure, il est d'ailleurs indifférent de dire que l'ensemble est enfermé au sens étroit ou bien au sens large, que les intervalles empiètent ou n'empiètent pas (Lemme IV).

Soient maintenant CE le complémentaire de E (relativement à l'intervalle {a, b) et nie (CE) la mesure extérieure de cet ensemble. Par définition, la mesure intérieure de E est la quantité

nu E^^ {b — a) — me (CE).

Cette quantité ne peut être négative, car l'intervalle {a, b) contient CE et, par suite, b — a est au moins égal à me (CE).

D'autre part, la mesure intérieure de E ne peut surpasser sa mesure extérieure. En effet, enfermons (au sens étroit) E dans un système d'intervalles a et CE dans un système d'intervalles P, les points de {a, b) seront enfermés au même sens dans les a, [3. Donc, par le lemme II.

Sa + S,3>(è-«);

et, en faisant tendre Sa et Sf:! vers leurs limites inférieures.

me E + 'lie (CE) î!>: è — a, nie E ^ nu E.

Ces définitions sont évidemment telles qu'un ensemble ne peut être de mesure (intérieure ou extérieure) moindre qu'une de ses parties.

Lorsque les mesures extérieure et intérieure d'un ensemble E sont égales, cet ensemble est mesurable et sa mesure, ;«E, est la valeur commune de me E et ;«/ E. Il résulte immédiatement de là que, si un ensemble E est mesurable, son complémentaire l'est aussi.

76. Opérations sur les ensembles. — On peut effectuer sur des ensembles donnés diverses opérations :

1°) On peut réunir tous les points qui appartiennent à plusieurs ou à une infinité dénombrable d'ensembles Ej. E^,... Cette opération peut être considérée comme une addition et V ensemble-somme se désigne par

Ei + E^^...

2") On peut retrancher d'un ensemble Ei ceux de ces points qui appartiennent à un ensemble E2. Cette opération peut être considérée comme une soustraction et V ensemble-différence se désigne par