MESURE DES ENSEMBLES LINEAIRES

3°) On peut prendre la partie commune à plusieurs ou à une infinité dénombrable d'ensembles E,, E2,... Cette opération correspond à certains égards à la multiplication. Nous représenterons l'ensemble commun par

El E2...

L'addition et la multiplication ainsi définies sont des opérations associatives et commutatives et la multiplication est distributive vis-à-vis de l'addition et de la soustraction, c'est-à-dire que

(El ± Eo) E3 -^ El E3 ± E. E3.

La vérification est immédiate.

Par contre, les propriétés générales des opérations ne s'étendent pas à la soustraction. En particulier, on peut bien poser

(E - El) + (E, - E3) = (E + E,) - E',

mais E' ne contient qu'une partie de (Ei + E3), à savoir les points de El contenus dans E sans l'être dans (E., — E3) et ceux de E3 contenus dans E2 sans l'être dans (E — Ei). Cette remarque nous servira tout à l'heure (no 78, I).

Nous allons montrer que les opérations précédentes, étant effectuées sur des ensembles mesurables, conduisent à de nouveaux ensembles mesurables. A cet effet, nous allons faire connaître au no suivant un caractère distinctif des ensembles mesurables. Mais nous avons d'abord une remarque à faire :

Si deux ensembles Ei et Eo sont de mesure (extérieure) < s, l'ensemble El -\- E^ sera de mesure (extérieure) < 2£. D'autre part, quel que soit E3, les ensembles Ej — E3 et Ei E3 contenus dans Ei seront a fortiori de mesure (extérieure) <£.

77. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble E soit mesurable, est que, quelque petit que soit e positif, l'ensemble E puisse se décomposer comme il suit

& désignant l'ensemble d'un nombre limité d'intervalles, e' et e" deux ensembles de mesures (extérieures) < £. Alors la mesure de E est comprise entre les deux limites m& ± s.

La condition est nécessaire. Montrons, en effet, que si E est mesurable, il admet la décomposition indiquée. Pour cela, enfermons E (mesurable) dans une infinité dénombrable d'intervalles a n'empiétant pas et CE dans des intervalles ,3 n'empiétant pas de manière que l'on ait

Sa + :Sp < m E -f m CE -f s = b—a -f £.

On a, d'autre part, par le lemme VI (n" 74),

Sa -f Sp == è-a + S (al3),

d'où, en comparant, S (a|3) < e.

Soit maintenant S l'ensemble d'un nombre suffisant d'intervalles a pour que l'ensemble e des intervalles restants soit de mesure ^ i. On a

E = ê + eE — ê(CE).

Mais eE est un ensemble e' de mesure < £ et ê(CE) est un ensemble «" contenu dans les (a,3) donc aussi de mesure < î, ce qui prouve la proposition.

En second lieu, la condition est sulftsante, car, si elle est remplie, E et CE étant respectivement contenus dans ê + ^' et Ce + e" , on a les inégalités :

Me E < ;//ê + t, nie CE < ;«Cê + t,

et, en retranchant la seconde de ô — a = h — a, !ii,K y m & — t.

Donc les mesures intérieure et extérieure de E sont comprises entre les deux limites w ê ± £ aussi rapprochées qu'on veut et, par conséquent, sont égales. On voit, en même temps, que ;«E est compris entre ces mêmes limites.

On peut caractériser la décomposition requise dans le théorème précédent en disant que tout ensemble mesurable se compose, à deux infiniment petits près, d'un nombre fini d'intervalles.

78. Théorèmes relatifs aux opérations sur les ensembles mesurables,

— Théorème I. — Si les ensembles E, et JL-, sont mesurables, il en est de même pour les ensembles :

Ei+E.,, El Eo,- El — E,.

Mettons, en efïét, Ei et E., sous la forme indiquée dans le théorème précédent :

El = êi + ^1 — «1 , E., = êi + 4 — 4'^

on aura

E, + E.. = (êi + S.) + {e[ + e[) - e'\

où e" est contenu (no 76) dans [e^ + e^). Or (êi + ê,,) est formé d'un nombre limité d'intervalles, tandis que {e[ + e[) et {e'I + el) sont de mesures < 2t, donc Ej + Ej est mesurable par le théorème précédent.

Les deux autres résultats se ramènent au précédent par la considération du complémentaire. On a, en effet,

C(EiEo) = CEi + CE2, C(Ei — Eo) = CEi + E..

Théorème II. — Si les deux ensembles Ei et E^ sont mesurables et sans point commun, on a

m (El + E2) = m El -f m E^,

La décomposition de Ei + E2 indiquée dans la démonstration précédente prouve (no 77) que la mesure de Ei + Eo est la limite, pour e infiniment petit, de m (êi ~\-&z). Mais, pour un nombre limité d'intervalles, on a, sans difficulté,

m (êi + êo) = w êi + m $■> — m (êi gj)-

Comme m$i et m ê-i tendent vers m Ei et m Eo, il reste à montrer que m{S>i êo) tend vers 0. Or êi et S2 sont respectivement contenus dans El -f- e'î et E2 + ^2', donc êiSo l'est dans

(El + e'^) {E, + 4') - El E2 + El 4' + (E2 + 4') e'I,

et a fortiori dans {co +^1 ) puisque Ei E^ est nul. Donc mêi So < as.

Corollaire. — Si Ei ^^ Eo sont mesurables et Eo contenu dans Ei, o« « w (El — Eo) = m El — m Eo.

Cette équation revient, en efi"et, à celle que nous venons d'établir, en écrivant

w(Ei — Eo) + «?Eo = mEi.

Théorème IIl! — Soit Ei, Eo,... une infinité dénombrable d'ensembles mesurables contenus dans l'intervalle (a, b) ; soit ensuite E l'ensemble-somme E1 + E2+...; l'ensemble E est mesurable. De plus, si les ensembles sont sans points communs, on a

m E = m El + m Eo -[- ■ ••

Supposons d'abord les ensembles sans points communs.

Posons

S«==Ei+E2+- + E„

On aura, en observant d'abord que E contient S« , puis en appliquant le théorème I,

mi E > w S„ = w El + '» Eo + •■• + OT E« , ce qui prouve que la série positive S?«E« est convergente. Prenons donc n assez grand pour qu'on ait, t positif étant donné,

m E«-|-i + m En+2 + ■•■ < £, et enfermons, pour /> = i, 2, 3,... l'emsemble E«+p dans un système d'intervalles a dont la somme soit < m E«+> + — . Alors l'ensemble R« = E«+i + E«+2 + ••■ est enfermé dans un système d'intervalles a, dont la somme est moindre que

fmE„-,i-^^^+ fmEn+-z + -^ ) + ■■■< 2^.

On en conclut

me E < m S„ + 2£.