MESURE DES ENSEMBLES

Comparons avec l'inégalité relative à m/'E et passons à la limite pour î = 0 ; on en conclut le résultat énoncé :

!i!e E = ihi'E = m E = lim {m S« ) = m Ei -]- m Eo + ■••

Si, en second lieu, les ensembles E« ont des points communs, l'ensemble E sera encore mesurable, car on peut écrire

ce qui ramène au cas précédent, en vertu du théorème II.

Théorème IV. — Si d'un ensemble mesurable E on retranche tous les points qui appartiennent à une infinité dénombrable d'ensembles mesurables El, E^ ..., tous les ensembles E, Ei, Eo,... étant contenus dans un intervalle (a, b), l'ensemble restant E — Ei — E^. — ... est encore mesurable. De plus, si El, Eo, ... sont sans points communs et tous contenus dans E, on a

m (E — El — E ) = w«E — wEi — wEo

D'abord l'ensemble E' = Ei + Eo -f ■•• est mesurable par le théorème III, donc E — El — Eo ou E — E' l'est par le théorème II.

Ensuite, si Ei, E.,,... sont sans points communs, çn a, par le théorème III,

m E' = m El -\- m Eo + ••••

et, par le corollaire du théorème I,

m (E — El — Eo ) ^ m (E — E') = m E — m E',

ce qui prouve la seconde partie du théorème énoncé.

Théorème V. — Soit Ei, Eo,... une infinité dénombrable d'ensembles mesurables, leur partie commune E ==^ Ei Eo... est mesurable.

Ce théorème se ramène au théorème IV en observant que

CE = CEi + CEo +•••

Théorème VI. — Soit Ei, Eo... une iifinité dénombrable d'ensembles mesurables dont chacun contient tous les précédents et qui sont tous contenus dans un intervalle (a, b), on a

;«(Ei+Eo + -)=J[iiï] (mE«).

. On peut, en effet, poser, dans cette hypothèse,

El + E, + •- = El + (E2 - El) + (E3 - E,) + -

et il vient, par les théorèmes III et I (corollaire),

m (El + Eo + •••) = m El + «2(E, — El) + m (E3 — Eo) + -

== m El + {m Eo ^ m Ei) + {m E3 — m Eo) + ••• = lim (m E« ).

Théorème VII. — Inversement, soit Ei, E.,>,,.. une infinité dénomhrable d'ensembles mesurables dont chacun est contenu dans tous les précédents et qui sont tous contenus dans un intervalle {a, h), on a

m {Kl E2....)==lim 'n{E„).

On a, en effet, dans cette hypothèse,

C(EiEo ...) = CEi + CE. + •••

Donc il vient, par le théorème précédent,

wC(EiE. ...) = limm(CE«)

et, en retranchant les deux membres de {b — a),

m (El Eo...) = lim {tn E« ).

79. Construction d'ensembles mesurables. Ensembles mesurables B. —

Un ensemble qui se réduit à un seul point est évidemment mesurable et a pour mesure zéro. D'autre part, un ensemble qui se réduit à un intervalle (avec ou sans les extrémités) est évidemment mesurable et a pour mesure la longueur de l'intervalle.

En combinant entre eux les points et les intervalles par addition et soustraction ou en prenant l'ensemble commun à une suite d'ensembles donnés, on obtient des ensembles de plus en plus complexes et qui sont encore mesurables en vertu des théorèmes du no précédent. Ce sont ceux-là qui ont été particulièrement considérés par M. Borel. C'est pourquoi on les appelle les ensembles mesurables B.

Les ensembles mesurables B sont les plus importants des ensembles mesurables. Quand on connaît leur mode de construction, on peut en même temps déterminer leur mesure en utilisant, à chaque opération consécutive, le théorème correspondant du numéro précédent.

Un ensemble dénombrable s'obtient par l'addition d'une infinité dénomhrable de points. C'est donc un ensemble mesurable B et sa mesure est nulle, en vertu du théorème III.

Un ensemble parfait s'obtient en soustrayant d'un intervalle {a, b) une

infinité dénombrable d'intervalles distincts X], a.,, C'est donc un

ensemble mesurable B et sa mesure est {b — a) — «j — x., — .....en vertu du théorème IV.

Un ensemble fermé est la somme d'un ensemble parfait et d'un ensem ble dénombrable. C'est donc un ensemble mesurable B et sa mesui'e est celle de l'ensemble parfait qu'il contient, en vertu du théorème I.

80. Théorème. — Si la mesure extérieure de V ensemble E êst égale à k, E est contenu dans un ensemble E' mesurable B et de même mesure k. — Réciproquement, si nu E = ;^. E contient un ensemble E" mesurable B et de même mesure k.

Les deux théorèmes se ramènent l'un à l'autre par la considération des ensembles complémentaires. Démontrons donc le théorème direct.