MESURE DES ENSEMBLES

Soit £i, t.,---- -« )••• une suite de qviantités positives ayant pourlimiteO. Nous pouvons enfermer E dans un ensemble E (£« )> mesurable B, formé d'intervalles «i, aj,... n'empiétant pas et tel que

Alors E est aussi enfermé dans l'ensemble mesurable B :

et l'on a

Donc (£« étant infiniment petit) m E' sC ^ (donc = k).

Remarque. — En particulier, si E est mesurable, il est contenu dans un ensemble E' et contient un ensemble E", tous deux mesurables B et de même mesure que lui.

81- Emsembles-limites (Complets ou restreints). — Soit Ei, Eg,... une infinité dénombrable d'ensembles. M. Borel appelle ensemble-limite complet de cette suite, l'ensemble E formé des points qui appartiennent à une infinité d'entre eux. Il appelle ensemhle-limile restreint de la même suite, l'ensemble R des points qui appartiennent à tous les ensembles E« à partir d'une valeur suffisamment grande de n (qui peut d'ailleurs dépendre du point considéré).

Les ensembles-limites peuvent s'exprimer à l'aide des opérations étudiées précédemment. On a, en effet,

R = (El E2 E3....) + (E, E3..) + (E3 ...) + ...

car un point de R appartient à tous les termes du second membre à partir d'un certain rang ; et, réciproquement, un point qui appartient au second membre appartient à l'un de ses termes, donc aussi à R.

D'autre part, on a

E = (El + Eo + E3 + -) (E., + E3 + •••) (E3 + ■••) -,

car un point de E appartient à tous les facteurs du second membre ; et, réciproquement, un point qui appartient à tous les facteurs du second membre appartient à une infinité de E« , donc à E.

Ces relations prouvent d'abord que, si les ensembles de la suite sont mesurables, il en est de même des ensembles-limites É et R. Mais elles fournissent des renseignements sur les mesures de E et de R. On peut, en effet, énoncer les théorèmes suivants, qui s'en déduisent :

Théorème I. — Si, parmi les ensembles mesurables Ei, Eo,..., tous compris dans un intervalle fini {a, b), il y en a une infinité de mesure ^ k, r ensemble-limite complet E aura une mesure ^ k.

En efïet, en retranchant de la suite une partie des ensembles E«, on ne peut que réduire l'ensemble-limite complet E. On peut donc sup-

poser dans la démonstration tous les ensembles de mesure ^ k. Appliquant alors le théorème VII du n^ 78 à l'expression de E ci-dessus, on obtient

w E = lim m (E« + E«-(-i + ■•■) ^ lirri ^« E« ^ k.

Théorème II. — Si, parmi les ensembles mesurables Ei, E2,... tous compris dans {a, b), il y en a une infinité de mesure ^ k... l' ensemble-limite restreint R aura une mesure ^ k.

En effet, en retranchant de la suite une partie des ensembles E», on ne peut qu'augmenter l'ensemble-limite restreint K. On peut donc supposer dans la démonstaation tous les ensembles de mesures ^ k. Appliquant alors le théorème Vil du n» 77 à l'expression de R, on obtient

m R = lim m (E« E«+i •••) ::^ lim m E« ^ k.

§ 12. Fonctions mesurables d'une variable (*).

82. Fonctions mesurables. — Soit/(.i;) une fonction univoque de ;t' dans un ensemble F, sa valeur peut être infinie mais de signe déterminé. Soient ensuite xA et B deux nombres fixes (A < B). Nous désignerons respectivement par les notations :

E(A</<B), E(/>A), E(/=A), E(A<y^B), E(/^A), etc.

les ensembles des points de F où la fonction /(.r) satisfait à la condition indiquée entre parenthèses. Ainsi le premier ensemble est celui des points de F <jViJ\x) est > A mais < B.

Ceci posé, nous dirons, avec M. Lebesgue, que cette fonction est mesurable dans l'ensemble F, si l'ensemble

est mesurable quel que soit A. — Si, de plus, cet ensemble est mesurable B, nous dirons que la fonction est mesurable B.

Il suit évidemment de cette définition que si une fonction est mesurable dans deux ensembles Fi et F2, elle est mesurable dans l'ensemble-somme Fi + b'2.

Si la fonction / (;ir) est mesurable, l'ensemble E (/::^ A) est mesurable, l'ensemble E (A </^ B) également (comme différence de deux ensembles mesurables) ; enfin l'ensemble E(/= A) est aussi mesurable, car c'est la partie commune à l'infinité dénombrable des ensembles

Donc les ensembles E(/>A), E(A<^/^B), E(A</< B), qui

(*) Pour celles de plusieurs variables, voir le tome II.