FONCTIONS MESURABLES

ne diffèrent d'autres qui précèdent que par l'addition ou la soustraction d'un ensemble mesurable, sont mesurables aussi.

Remarque. — On peut aussi bien définir une fonction mesurable par la condition que l'un, toujours le même, des deux ensembles :

soit mesurable quelque soit A, car un raisonnement calqué sur le précédent montrerait que tous les ensembles rencontrés ci-dessus sont encore mesurables. Il en résulte évidemment que, si / est mesurable, — /l'est aussi.

Toute fonction continue dans un ensemble fermé F, est mesurable (B) dans cet ensemble, car l'ensemble E (/> A) étant fermé, est mesurable (B).

83. Opérations sur les fonctions mesurables. — \. La somme et la différence de deux fonctions finies et mesurables dans un ensemble F, sont des fonctions mesurables dans F.

En effet, soient/ et o deux fonctions mesurables. Je dis que/+ «f est mesurable, c'est-à-dire que l'ensemble E = E (/+ ^p > A) est mesurable. En effet, cet ensemble est la somme de l'infinité dénombrable des ensembles mesurables :

formés des points communs à 'E{f>r) et E («p > A — r), quand on donne à r toutes les valeurs rationnelles positives et négatives (car, si /+ ç. est > A, on peut trouver un nombre rationnel ;' </tel qu'on ait encore r + ? > A). Donc E est mesurable (no 78, III).

Le théorème se démontre pour une différence en remplaçant 'f par — o qui est mesurable avec © (n» précédent).

II. L^ produit de deux fonctions finies et mesurables dans F est mesurable dans F.

Toute fonction mesurable / est la différence /i — f^ de deux fonctions mesurables jamais négatives (/i étant égal à / aux points où / est positif et à 0 ailleurs, — fi égal à / aux points où / est négatif et à 0 ailleurs). Donc, en vertu de la propriété précédente, il suffit de faire la démonstration pour deux fonctions / et «p jamais négatives. Le raisonnement est alors analogue au précédent. Il faut prouver que, si A > 0, l'ensemble E =^ E (/«p > A) est mesurable, ce qui résulte de ce que cet ensemble est la somme de tous les ensembles

E (/ > r) Ef 'f > — j quand on donne à r toutes les valeurs rationnelles positives.

III. L'inverse d'une fonction mesurable dans F et qui ne s'annule pas est mesurable. On a, en effet,

E (-> A J = E (f<. ^\ si /et A sont positifs ;

E (0 > y > A j = E ( 0 >/> ^\ si/et A sont négatifs.

IV. Le quotient des deux fonctions finies et mesurables dans F est mesurable dans F, pourvu que le diviseur ne s annule pas.

Cette propriété est la conséquence des deux précédentes.

84. Limites de fonctions mesurables. — Théorème I. Si une suite de fonctions mesurables fi, f ■,,... fn ,..■ converge vers une limite finie ou infinie dans un ensemble F, la fonction-limite f est mesurable dans F.

Donnons-nous un nombre positif s. Tout point de l'ensemble

appartient évidement, pour n suffisamment grand, à l'ensemble mesurable

Donc tout point de E appartient à V ensemble-limite restreint E^ de la

suite E(i, £), E(2, s), E(3, s) , lequel est mesurable; et cela,

quelque petit que soit z.

Réciproquement, tout point exclu de E est exclu de E (/> A — s) pour £ assez petit ; il est alors exclu de E:, car il l'est de E [n, z) pour n assez grand.

Donc l'ensemble E est Y ensemble-limite restreint de la suite des ensembles Es obtenue en donnant à z une suite de valeurs £i, z.^,... £«,.,. tendant vers 0 : E est mesurable.

Théorème II. — Les limites d'indétermination (plus grande et plus petite limites) d'une suite de fonctions mesurables /i , f^,... fn ,... sont mesurables dans F.

En effet, soit, pour chaque valeur de x, '^m.n {x) la fonction égale à la plus grande des m + « + i fonctions :

C'est une fonction mesurable dans F, car on a

E {^m,n > A) -- S E ifn+A- > A).

Or la plus grande limite de la suite A, /o,... est la limite de <]>;«.« quand n d'abord et m ensuite tendent vers l'infini : elle est donc mesurable par le théorème I. (Démonstration analogue pour la plus petite limite).

Remarque. — Les fonctions continues étant mesurables (n^^ 82), les limites et les limites d'indétermination de fonctions continues le seront aussi.

85. Théorème sur la convergence. — Soit fi, f,,... f» ,-■■ une suite de fonctions mesurables qui converge vers une limite finie f{x) dans un ensemble mesurable E ; soient ensuite z un nombre positif arbitraire et E« l'en' semble des points de E où l'on a

I f-fn 1 > ^.

Je dis quà tout nombre positif o 5/ petit qiCil soit, on peut faire correspondre un nombre positif N, tel que l'on ait

m E„ < ô, si n > N.

En effet, si par impossible cette condition ne se idéalisait pas, il y aurait une infinité de E« de mesures ^ 0. Alors l'ensemble-limite complet des E« aurait une mesure > S (n» 81, I) : il renfermerait donc certainement des points. Soit x l'un d'eux, il y aurait une infinité de valeurs de n pour lesquelles

f{x)-fn{x)\^Z,

auquel cas, /« (a-) n'aurait pas pour limite /(;t^).

§ 13. Fonctions (d'une variable) à variation bornée. Fonctions absolument continues.

86. Définition des fonctions à variation bornée. — Soient j' ^=f{x) une fonction de x, univoque et bornée dans un intervalle fini (a, b), et X un point de cet intervalle. Donnons à x une suite de valeurs croissantes Xi = a, Xi, x^,... x„ , x„+i = X ; soient j'i, Vo,--. j'«+i = Y les valeurs correspondantes de v. Faisons la somme des différences successives de y ; nous aurons

(1) î{y,+,-yi) = Y-y,=p-n,

p désignant la somme des différences positives et — n celle des différences négatives. Désignons encore par t la somme des différences absolues ; nous aurons

(2) i=^[ Vi+i — Vk \=p + n.

Les valeurs extrêmes a et X restant fixes, les trois sommes />, n, t dépendent encore du nombre et de la position des valeurs intermédiaires. Faisons varier ces deux éléments de toutes les manières possibles ; si l'une des trois sommes est bornée, les deux autres sommes le seront aussi, en vertu des équations (i) et (2). Quand il en sera ainsi, nous dirons que y est une fonction à variation bornée entre « et X (C. Jordan).

Dans cette hypothèse, on peut choisir successivement les points intermédiaires de manière que p s'approche indéfiniment de sa borne supérieure P. Les équations (i) et (2) montrent que n et / tendront en même temps vers leurs bornes supérieures N et, T et ces équations elles-mêmes deviendront, à la limite,

Y— .Vi-=P — N, T = P + N.

Cette dernière quantité T s'appelle la variation totale de r dans l'intervalle [a, X).

Nous allons faire connaitre maintenant quelques propriétés importantes des sommes p. n, t et de leurs bornes supérieures P,,.N et T.

87. Théorèmes sur les fonctions à variation bornée. — Lemme. — Si l'on ajoute une nouvelle valeur intermédiaire ^ entre Xk et XA-+i, la somme t peut augmenter mais non dêcroitre ; elle augmente d'ailleurs tout au plus du double de l'oscillation de y dans l'intervalle {xk, x/;-]-i).

Soit Tj la valeur de j' au point i ; l'adjonction de ce point remplace dans t le terme unique | yk^i — yk \ par deux autres, dont la somme est au moins égale, | yk+s. — ^i | + | tq —yk \ . D'autre part, chacun de ces nouveaux termes est au plus égal à l'oscillation de v entre at/;. et Xk+i. Donc t ne peut croître de plus du double de cette limite.

Théorème I. —Si y est continue et à variation bornée, les sommes p, n, t ont respectivement P, N et T pour limites quand les valeurs intermédiaires de X se rapprochent indéfiniment les unes des autres.

Le théorème, vrai pour une des trois sommes, le sera pour les deux autres. Démontrons-le pour / seulement.

Pour cela, il faut montrer que la somme t relative à un système S de points intermédiaires surpasse T — 2£, quelque petit que soit le nombre positif donné 2s, pourvu que les intervalles de ces points soient assez petits.

On peut d'abord, par définition de T, trouver un système de points S' tel que la somme correspondante t' vérifie la condition ^' > T — £. Soit V le nombre des points de S'. Je dis que le système de points S fournira une somme ^ > T — 2£, pourvu que ses intervalles soient assez petits pour que l'oscillation de y soit < s : v dans chacun d'eux. Considérons, en effet, un troisième système de points S", formé de la réunion de ceux de S et S', et soit /" la somme correspondante. Comme il faut ajouter v points au plus pour passer d» S à S", il faut v accroissements au plus, tous moindres que e : v (Lemme précédent), pour passer de ^ à t" . On a donc t-\-z > t". Mais, d'autre part, S" se forme aussi par l'adjonction de nouveaux points à S'. Donc t" > t' et a fortiori i" > T — t. Nous obtenons donc l'inégalité à démontrer t+z>T-s.

Théorème II. — Si y est à variation bortiée dans l'intervalle {a, b), elle est de même nature dans toute portion {a, X) de [a, h) et les quantités P, N, T sont des fonctions stationnaires ou croissantes de X.

Donnons à x une suite de valeurs intermédiaires entre a et è et prenons X au nombre de ces valeurs. Considérons la suite des valeurs correspondantes de y. La somme des difi"érences absolues de ces valeurs entre a et X sera moindre que la somme analogue entre a et b. Donc, si cette derrière est bornée, la première l'est aussi et y est à variation bornée dans l'intervalle {a, X). Le même raisonnement

prouve que T, qui est la borne de la somme précédente, ne peut pas diminuer quand X augmente. La démonstration est analogue pour P et N.

Théorème III. — Si y est à variation bornée dans l'intervalle {a, X) et qu'on partage cet intervalle en deux autres par un point c, la variation totale T de y dans l'intervalle {a, X) est la somme des variations totales Tj et Ta dans {a, c) et dans {c, X).

En effet, on peut former une sonmie t relative à l'intervalle {a, X) et infiniment voisine de T ; d'ailleurs on peut supposer que c soit pris comme point de subdivision, car on augmente ^ en l'ajoutant. Mais alors t est la somme de deux sommes analogues ti et t-^ relatives aux intervalles {a, c) et {c, X) donc ^ est < Tj + T. et sa limite T <^ Tj +T2.

Inversement, on peut former deux sommes ^1 et ^2 infiniment voisines de Ti et de To respectivement, alors ^i + fo est une somme t < T, donc Ti + T. <C T.

Comparant, on voit que T = Tj + To.

Théorème IV. — Si la fonction y ^f{x), supposée à variation bornée, est continue en un point X, les sommes-limites V, N et T sont des fonctions continues de X en ce point.

La continuité d'une des trois sommes entraine celle des deux autres. Il suffit donc de prouver celle de T.

Montrons d'abord que l'oscillation w de T à droite du point X est nulle.

Soit - la variation totale de j dans l'intervalle (X, X + ô) ; eu égard au théorème précédent, 10 est la limite de 1 quand S tend vers 0 ; par suite, on a w ^ T.

Donnons-nous maintenant un nombre positif arbitraire t et divisons l'intervalle (X, X + 0) par les points Çj = Xj, \.., Çg,... de manière que l'on ait

Soient Tj et tj les variations totales de j' dans les intervalles (X, c,) et (ç2, X + 0) respectivement ; on aura

en vertu de la relation précédente. Donc a fortiori, puisque w est aussi < -Cl lequel = t — -ug,

Mais on peut faire tendre t vers 0 et $2 vers X, donc, /étant continue au point X, on a o) = 0.

On montre d'une manière analogue que l'oscillation de T est nulle à gauche du point X, ce qui achève la démonstration.

Corollaire. — Si la fonction à variation bornée, y, est continue dans Vintervalle {a, b), P, N et T sont fonctions continues de X dans [a, b).

88. Propriétés des fonctions à variation bornée. — I. Une fonction à variation bornée, y, est la différence de deux fonctions bornées, positives et non décroissantes dans l'intervalle {a, b) et, de plus, continues en tout point où y est continue. Réciproquement, la différence de deux fonctions bornées et non décroissantes est une fonction à variation bornée.

Nous avons vu (no 86) que, Y étant la valeur de v au point X, on a

Y = (vi + P) — N.

Donc Y est la différence de deux fonctions de X bornées et non décroissantes. Ces fonctions sont, de plus, continues si y est continue (no 87). On peut faire en sorte que ces deux fonctions soient positives et même essentiellement croissantes si l'on veut ; il suffit, en effet, d'ajouter aux deux termes de cette différence une même quantité croissante et suffisamment grande, par exemple

Réciproquement, si ^ et ^^ sont deux fonctions de x bornées et non décroissantes, la fonction z — u est à variation bornée. En effet, la différence des valeurs de 2 ^u pour deux valeurs Xk et xj^+i de x est au plus égale à la somme des accroissements de 2 et de « dans cet intervalle. Donc la somme de toutes ces différences entre deux valeurs extrêmes de x ne peut surpasser la somme des accroissements de z et de u entre les mêmes valeurs, et ^ — îi est à variation bornée.

II. La somme, la différence et le produit de deux fonctions à variation bornée sont des fonctions de même nature. L'inverse i : y d'une fonction à variation bornée sera aussi de même nattire, pourvu que \ y \ reste supérieur à un nombre positif fixe.

La première partie se démontre immédiatement en considérant les deux fonctions y et y' comme les différences z — u et z' — u' de deux fonctions positives non décroissantes. On a en effet,

y -\-y' = (^ + z') — («+ w'), y —y' = [z + u') — {u + z'), yy' = {zz' -\- uu') — {su' + uz').

La dernière partie se vérifie aussi facilement, en observant que, si I y \ est > [/., la'somme :

yk+i yk

yk^i —yk ykyk+i

reste toujours inférieure à un nombre fixe.

89. Fonctions absolument continues. — Définition. — Une fonction f{x) est absolument continue (Vitali) dans un intervalle {a, b), si la somme des différences {ou aussi bien des oscillations) de f{x) dans un nombre fini

OU dans une infinité dénomhrable d'intervalles contenus dans {a, b), tend vers 0 avec la somme des amplitudes de ces intervalles.

Il est effectivement indifférent de dire différence ou oscillation dans cette définition, car, si la somme des différences de/(;ir) est en valeur absolue < ô dans tout ensemble d'intervalles a tel que Sa < s, la somme des oscillations de/(,v) dans ces a sera, comme nous allons le montrer, < 20.

En effet, de chaque intervalle a, on peut extraire un intervalle 3 tel que la différence absolue àef{x) dans ce ,3 diffère aussi peu qu'on veut de l'oscillation de f{x) dans cet a. Pour l'ensemble des ,3, les sommes des différences positives et des différences négatives sont respectivement < 0 en valeur absolue, car S3 < s ; celle des différences absolues est donc < 20 et, par conséquent, la somme des oscillations de f{x) dans les a est aussi ^ 2S.

Théorème I. — Une fonction absolument continue dans un intervalle {a, b) est à variation bornée dans cet intervalle.

En effet, supposons le contraire et divisons {a, b) en parties infiniment petites. Il y aura au moins une de ces parties où la variation totale ô.ef{x) sera infinie. On peut donc faire croître indéfiniment la somme des différences de/(;i;) dans un ensemble d'intervalles extraits eux-mêmes de cette partie infiniment petite eXf{x) n'est pas absolument continue.

Théorème II. — Si f[x) est absolument continue dans {a, b), sa variation totale dans (a, x) est aussi une fonction absolument continue T{x).

En effet, si T n'est pas absolument continue, on peut trouver une suite d'intervalles a, de somme S^a aussi petite qu'on veut, où la somme des différences de T, c'est-à-dire des variations totales de /, surpasse un nombre positif fixe ô. Or on peut décomposer chaque a en parties consécutives assez petites pour que la somme des différences absolues de / dans l'ensemble des parties d'un même a, diffère aussi peu qu'on veut de la variation totale de / dans cet a, donc aussi pour que la même somme étendue à tous les a surpasse ô. Donc f{x) n'est pas absolument continue, ce qui est contre l'hypothèse.