CHAPITRE I

Dérivation des fonctions explicites dune variable.

§ 1. Dérivées et différentielles.

90. Dérivée, Fonctions dérivables. — Soit y = f{x) une fonction uuivoque dans un intervalle (a, b) et x un point de cet intervalle ; donnons àx un accroissement positif ou négatif ^x ^= h, que nous appellerons aussi différence de x, l'accroissement ou la différence correspondante ^y de la fonction sera f(x -\- h) — f{x) et le rapport de ces accroissements,

Si ce rapport tend vers une limite finie ou infinie lorsque h tend vers zéro d'une manière quelconque, cette limite s'appelle la dérivée de f{x) au point x et elle se représente par f{x) (Lagrange), par D f{x) (Arbogast) ou Dxf{x) (Cauchy).

Si ce rapport tend vers une limite quand h tend vers 0 par des valeurs positives, cette limite est la dérivée à droite au point X. De même, la dérivée à gauche est la limite du rapport quand h reste négatif. Quand ces deux dérivées sont égales, la fonction a une dérivée unique au point .v, ou tout simple^nent une dérivée : celle que nous avons définie tout d'abord.

Si la fonction f{x) admet une dérivée (unique) en tout point intérieur de l'intervalle (a, b) et, de plus, une dérivée à droite en a et une dérivée à gauche en b, elle est dérivable dans (a, b).

Il est d'abord évident qu'âne fonction ne peut être dérivable dans un intervalle (a, b) qu'à la condition d'être finie en tout

point intérieur à cet intervalle, car une fonction n'a pas de dérivée (unicxae) eu un point où elle est infinie (*). Mais nous avons aussi le théorème suivant :

Toute fonction qui a une dérivée finie pour une valeur donnée de X est continue en ce point.

En effet, soit e une quantité qui tend vers 0 avec h, on a

lim [f{x + /î) - f{x)] ^ lim h [f (X) + s) --^ o.

91. Cas particuliers. — I. Si f{x) se réduit à une constante, sa dérivée est nulle. En effet,

lim — r = lim v- = 0.