II. Si f{x) = X, sa dérivée est égale à l'unité. Eu effet
lim -^^ ,- = lim r = I •
92. Signification géométrique de la dérivée. — C'est le problème des tangentes aux courbes planes qui a conduit à la considération des rapports d'infiniment petits et à la définition de la dérivée. Xous allons montrer, en effet, que la détermination d'une tangente à une courbe plane revient à celle de la dérivée d'une fonction.
Considérons une courbe rapportée à des axes rectangulaires ou obliques, et soient x et )* les coordonnées d'un point M de la courbe (fig. i), celle-ci ayant pour équation
y = /'Gv).
Pour définir la tangente à la courbe au point M, considérons une sécante MM' menée par ce point ; si, lorsque le point M' se rapproche indéfiniment
(*) Par exemijle, si la l'onction /'(a) était finie de part et d'autre d'iiu point X où elle égale à -)- x. ses dérivées à droite et à gauche existeraient au point .v mais seraient différentes, à savoir respectivement — x et +x.
du point M, la sécante MM' tend vers une position limite MT, cette droite-limite est la tangente à la courbe au point M.
Le j)oint M étant donné, la détermination de la tangente revient à celle de son coefficient angulaire t. Appelons a le coefficient angulaire de la sécante MM' et désignons par a- 4- Aa; et y -f- ^y les coordonnées du point M'. Menons MP parallèle
à OX ; on aura
PM'^Ay "" ~" MP "" ^x '
Quand M' se rapproche indéfiniment de M, a tend vers t ; donc
La dérivée de la fonction f{x) est ég-ale au coefficient angulaire de la tangente à la courbe qui a pour équation y = /(.v)» cette tangente étant menée au point de coordonnées x, y.
93. Différentielle. — Nous dirons qu'une fonction y =■■ f\x) est différentiable en un point x si elle est finie et déterminée aux environs de ce point, et si, donnant à 5C un accroissement arbitraire Aa;, la différence A/(a:) correspondante peut se décomposer en une somme de deux termes :
(1) A/Xa-) = AAa + eAA,
A étant indépendant de Aa", et e tendant vers 0 avec Aa. Alors le premier terme qui est simplement proportionnel à Aa prend le nom de différentielle de y et se désigne par dy ou df{x) (Leibniz). On a donc
df(x) =. AAa.
Mais, quand Aa tend vers 0, on tire de l'équation (1) lhn^ = f'{x)^A,
ce qui prouve que, si /'(a) est différentiable, / '(a) a une valeur finie et déterminée. Réciproquement, si f'{x) a une valeur finie A, l'équation (1) a lieu par définition de la dérivée. Donc la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction /(a) soit différentiable au point x est qu'elle ait, en ce point, une dérivée finie et déterminée, ce qui exige quelle soit continue, et alors on a
(2) df{x) = r{x)^x.
8o CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE
La différentielle d'une fonction est donc le produit de sa dérivée, supposée existante et finie, par une différence arbitraire ùkx attribuée à la variable indépendante x.
Il est à remarquer que l'équation (1) prend ainsi la forme
Aj = dy -\- e A a;.
Dans le cas particulier où f{x) se réduit à x, on sait que f{x) = I, et l'équation précédente se réduit à
dx = A^c.
Donc la différentielle de la variable indépendante se confond avec la différence généralement arbitraire de cette variable.
La formule (1) peut ainsi être remplacée dans le cas général par
(3) df{x)^f\x)dx.
Donc la différentielle d'une fonction est le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable indépendante. Si l'on divise par dx, on trouve
(4) /»-'gr-
Donc la dérivée d'une fonction est égale au rapport de la différentielle de la variable à la différentielle de la fonction, ce qui fournit une nouvelle expression de la dérivée (Leibniz) et celle qui est le plus employée.
Remarque. — La substitution de dx à A.y dans l'équation (1) n'a rien de nécessaire, mais elle est consacrée par l'usage et cet usage est justifié. Nous verrons en effet (n° gS, V) que l'équation (3) est plus générale que (1) : celle-ci suppose que x soit la variable indépendante, tandis que l'équation (3) n'est pas soumise à cette restriction.
94. Signification géométrique des difiérentielles. — La différentielle aussi est susceptible d'une interprétation géométrique qui se rattache à celle de la dérivée. Considérons encore la courbe (fig. i) qui a pour équation
Menons la tangente au point M de coordonnées .v et y. Don-
DERIVEES ET DIFFERENTIELLES
lions ensuite à x un accroissement arbitraire Aa- et soit M" le point de la tangente qui a pour abscisse x i- A.v. On a A.v = MP et l'accroissement correspondant de l'ordonnée de la tangente est PM". Or PM" : MP est le coefficient angulaire /"(.v) de la tangente ; il vient donc
^I"P --= (MP) /•' (.v) ^ A.V /'(.v) ^ (//(.v).
Donc la différentielle de f{x) e.st égide :i l'accroissement de r ordonnée de la tani>-ente à la courbe y --= /'(.v), lorsijiie l'on passe de l'abscisse x du point de contact à une autre abscisse
95. Règles de dérivation. — L'opération par hKjuelle on détermine la dérivée d'une fonction s'appelle dérivation ; celle par laquelle on détermine la différentielle, différentiation. Le premier objet du calcul différentiel est d'établir les règles de ces opérations.
Xous examinerons d'abord le cas où la fonction proposée est composée au moyen d'un certain nombre de fonctions plus simples, dont la dérivée sera toujours supposée déterminée et finie.
I. DÉRIVÉE d'une somme. — Soit V ^~ u ~\- V — w + ... une somme algébrique de fonctions ayant des dérivées connues u', v' «/,... Donnons ù .v un accroissement A.v et désignons par Ay, lu, lu, Iw,... les accroissements correspondants des fonctions ; on a :
A A" An Ay A«?
A A- ^ ÂÂ- "^ AX- ATv ^
d'où, en faisant tendre Aa" vers zéro et en passant à la limite,
Kn multipliant les deux membres par dx, il vient
dy = du -\- dv — dw -[- ■■■
Donc la dérivée (ou la différentielle) d'une somme algébrique de fonctions est la somme des dérivées (des différentielles) de chacune de ces fonctions.
