II. Dérivée d'un produit. — Soit y = nv un produit de deux

lonctioiis avant des déi'ivées u' et v . On a :

82 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE

^V (U -\- ^ll) (V -\- ^V) — IIV Au , , . , , ^V

Aa; ^x Aa- ^ ' ^ ' àx

et, en laisant tendre A.v vers zéro,

T ^Wt / , A X , ,. Au , , , V -■= lim V— lini (v -4- Ap) 4- il lim -^ — = ii v ■+■ vu. Aa- ^ ^ A.x

En multipliant par dx, on trouve

f/)' = Il du 4- y du .

Donc la dérivée (on la différentielle) d'un produit de deux facteurs est égale à la somme de chacun des facteurs, multipliés resj)ectivement par la dérivée (ou la différentielle) de l'autre.

Si V se réduit à une constante a, sa dérivée et sa différentielle sont nulles, donc

D.au = a Du, d.aii = a du.

On \ oit que la dérivée (ou la différentielle) du produit d'une fonction x^ar une constante est égale au produit de la constante par la dérivée (ou la différentielle) de la fonction. On exprime cette propriété en disant qu'un facteur constant peut sortir du signe de dérivation (ou de différentiation).

On aura, par la même règle,

D.uyu; = vwDu + uT>.vw =^ vivDii + ulvDu + uvDw et, en général, quel que soit le nombre des facteurs,

^ ADu , Bu Blv ,

B.iiuw... ^ iivw... 1 h

\ Il V w

Si l'on fait u = y = u? == ••■ et si l'on suppose le nombre des facteurs égal à m, il vient [m entier)

Du'» = mW^-^ Du.

En particulier, si ii = x,

jyx"^ = mx»^-^.

Si l'on multiplie les deux dernières équations par dx, il vient

, ^dii dv , dw , ^

d.iiviv...-= iiuw...: h •••

du»' = mW'^du.