III. DÉRIVÉE d'un QUOTIENT. — Soit y = - : OU a
DERIVEES ET DIFFÉRENTIELLES 83
Il f AZZ II Ah ^V
^ Y V -f Ay ~ T) ^ ^x ~ " ^x
^x ^x ~ v{v -^ Ay)
d'où, en passant à la limite,
vu' — Il v'
Si l'on multiplie par dx, il vient
, Il V du — Il dv
dy =^ d = r .
Dans le cas partieulier où u se rédiiil ù une constante a, sa dérivée est nulle et il vient
^, a Dn , a do
IV. DÉRIVÉE d'une fonction inverse. — Soit >' = l\x) une fonction admettant une fonction inverse, de telle sorte qu'on ait X = 'f (y). Si l'une de ces fonctions admet une dérivée différente de zéro, l'autre fonction aura aussi une dérivée et celle-ci s'obtiendra immédiatement.
Supposons connue la dérivée de cp par exemple. On a
• r^ = VÂ — c; mais lini ^^^ =^^== cp' (>"),
Aie f^x\ Av " ^ '
il viendra donc, à la limite, si o'{y) n'est pas nul.
Donc /a dérivée de y considérée comme foncliou de x est l'inverse de la dérivée de x considérée comme fonction de y.
Si l'on représente par un indice la variable considérée comme indépendante dans la dérivation, en d'autres termes, celle par rapport à laquelle on dérive, la règle précédente peut s'écrire
\'. DÉRIVÉE d'une fonction DE FONCTION. — SoiCllt Y = F («)
et II =- /'(a-), de sorte que y s'exprime en fonction de u, ii étant
lui-niéniç fonction de .v. Supposons toujours que F (n) et /"(-v)
84 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE
aient des dérivées finies et déterminées F' (u) et /' (a). On a
Ajc Au'Aa"
et, à la limite, Aw tendant vers zéro avec A.v, r'==F'(n)/».
Donc la dérivée de y par rapport à x est le produit des dérivées, supposées existantes et finies, de y par rapport à u et de ii par rapport à x. Si ces dernières dérivées n'existaient pas, la i"ègle ne serait plus applicable, mais il n'en résulterait pas nécessairement que y n'admît pas de dérivée par rapport à x.
Si l'on multiplie l'équation précédente par dx, on obtient
dy = F'{ii)dii.
Donc, si y ^ F (u), dy s'exprime an moyen de du comme si u était la variable indépendante. Toutefois cette régie suppose F {u) et u différentiables.
Cette régie fondamentale montre que la différentielle d'une fonction de a: se calcule toujours par les mêmes régies, qu'elle soit exprimée directement en fonction de x ou au moyen de variables auxiliaires.
96. Dérivées des fonctions élémentaires. — i. Exponentielle. On a, par définition de la dérivée.
De'
lim e-+^^j:::i ^,.lim e''~^
'1=0 Ji ;i=o h
Posons e'^ — i ^ a, d'où h = Log (i 4- a) ; a aura pour limite 0 avec h. Donc (ii° 36)
lim , = 1
im
Log(H-a) / , x^ ^^8"^
lim Log (l 4 a) =« Il vient ainsi
Donc la fonction e^ se reproduit par dérivation.
La dérivée d'une autre exponentielle quelconque s'obtient par
la régie des fonctions de fonctions. On a
D A^ = D e'^ ^°g A ^ gx Log A j) (^^ Log. ^^ ^ ^a? Log A.
IL Logarithme. — Considérons d'abord les logarithmes pris dans la base A et soit
y = LogA X.
DERIVEES ET DIFFÉRENTIELLES 85
Cette fonction est l'inverse de l'exponentielle x --= A^^ et sa dérivée se calcule par la règle des fonctions inverses. On a
T)y X A2/ Log A .V Log A En particalier, si les logarithmes sont naturels, on a
D Log .V = ^ .
III. Puissance. — ftoit a un nombre donné, et .v une vai'iable positive. On a, par les propriétés des logarithmes,
Y^S = (M Los X
On en tire, par les propriétés des logarithmes,
D A-« == e«LoR.''- 1) (a ],og .v) = .v^' '' = a.v"-'.
Donc, la règle établie précédemment {\v^ gS, II) pour a entier, est générale.
En particulier, si a = -, on a
DyÂ-
IV. Fonctions trigonométiuques. — i" Soit d'abord y — sin .v.
On a, par définition,
. , , X . sm ~ cos .V -^ )
,. sm (.V + A) — sm .V .. 2 \ 2/ Dr — lim 5^ — ^^—r^ = 2 hm -, .
Or COS ( X -f -^) a pour limite cos .v, il vient donc, en remplaçant h : 2 par a,
T^ lim *^i^^- D V == cos A- ^^^^
On sait, par les éléments de trigonométrie, qu'un arc moindre qu'un quadrant est compris entre son sinus et sa tangente. Donc, si a est positif, on a
sina<a<tga, d'où ^<1^<^'
Ainsi, si a tend vers zéro en restant positif, . reste com-
pris entre deux Cjuantités (|ni ont pour limite l'unité et l'on a aussi (n" i8, TV)
lim
sm a
D'ailleurs, comme a : sin a ne eliauge pas quand a change de signe, cette limite subsiste pour a négatif, et on peut la substituer dans la valeur de By, ce qui donne
Dr = D sin .y = cos .v.
2" On a ensuite, par la règle des fonctions de fonctions,
D cos A- - T) sin (^ — A-^ = cos (^^- — x) T> (j — x\ I) cos A- = — sin A'.
3" La règle pour dériver un quotient donne
sin A- cos A' D sin a- — sin a- D cos a*
D tg A- = D
cos A- COS' A"
DtgA-
cos- A-
4" On trouve, de même,
TA i.f I ^ *^i"'^" ^
D sec A- = D = 5 — = tg A- sec a'.
VCOS A- / C0S2 A' ^
5^ Enfin, en changeant a* en ( — — a* j dans les deux dernières fonctions, on obtient, par la règle des fonctions de fonctions,
I) cot A- = .-^ — , D cosec A' = — cot a' cosec a\
sm- A'
Y. Fonctions trigonométriqies inverses. — i** Soit, en premier lien, y = arc sin a' ; la branche principale est définie (n"' 38) ])ar les conditions
Pour en trouver la dérivée, appliquons la règle des fonctions inverses. On a a- = sin v, donc
DyX = cos y = \/i — sin- y = \/i — x^. Ce radical doit être pris avec le signe -\- , car cos y est positif quand y varie de — - à -|- -. On a donc
DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES 87
By X = -h Vl — ^''
B^r = D arc sin .v =
Les autres branches de arc sin .v se partagent en deux classes, liées à la principale par les deux formules (n" 38) :
V = arc sin .v -t- '2k-, y = {- — arc sin x) + i>A--.
Les premières auront donc môme dérivée que la branche principale et les secondes, une dérivée de signe contraire.
2° La dérivée de y = arc tg .v s'obtient aussi par la règle des fonctions inverses. On a cV = tgy ; donc
On en conclut
Dy y = D arc tg a' = —j---.,
et le résultat est le même pour toutes les branches de la fonction.
3° Les dérivées des autres fonctions circulaires inverses se
calculent au moyen des dérivées précédentes par les formules :
D arc cos a; = D f arc sin a' j ---^ — D arc sin a.
I) arc cot A =r^ D f ^' — ar(^ tg a y = — I) arc tg a.
97. Différentielles des fonctions élémentaires. — Ces différentielles s'obtiennent en nuiltipliant les dérivées par dx. On obtient ainsi le tableau suivant, qu'il est indispensable de connaître par cœur :
88 CHAPITRE 1. FONCTIOS'S EXPLICITES d'UNE VARIABLE
2Va-
d A^ - A'^ Log- A dx d Lo-a ^^'^
X Log A
d e^ = e^dx d Log .v = -^
, . , , . dx
d sm A' = cos A- dx d arc siii a' =
Vr-A-=
lu. '^-v d\
'' *» '^' = i:;:^^-^ d are tg A- =
cos- A'
d sec A' --- tg A- see a- dx d arc «ee A' ^- ^^^^
x\Jx^—i d eos A- - — siii A- (/a- a arc eos a- =: — d are sin a-
d eot A- = — -^ji^F^ c/ arc cot a- = -d arc tg a-
d cosec A- = — cot A- cosee a- dx d are eosec a* = — d are sec a*
Il est essentiel de remarquer que les formules de ce tableau subsistent encore quand on y remplace la variable A' par une l'onction quelconque ii de a*. Ainsi
d A" = A" Log A du, etc.
98. Différentiation des forxctions composées. — Les règles gêné-' raies du n" 90 et les formules du tableau précédent suffisent pour déterminer la différentielle d'une fonction explicite quelconque y, poui'vu qu'elle soit exclusivement composée par addition, soustraction, multiplication, division ou superposition du signe fonctionnel au moyen des fonctions élémentaires. En effet, par l'introduction de variables auxiliaires, on ramènera la fonction y à des sommes, produits,... de simples lettres ou à des fonctions élémentaires d'une seule lettre. La différentielle s'exprimera par les règles des n'"^ 90 et 97 au moj'en des différentielles des variables auxiliaires. On recommencera la même opération pour calculer les différentielles des variables auxiliaires et l'on continuera ainsi de suite jusqu'à ce que les différentielles puissent s'exprimer en fonction de a; et de dx seulement. En éliminant alors les variables auxiliaires et leurs différentielles, on obtiendra dy en fonction de a- et de dx. Pour trouver la dérivée D3', il suffira de diviser par dx.
Avec un x^eu d'exercice, ces calculs se font très rapidement.
DERIVEES ET DIEFERENTIELLES
On peut même se dispenser d'introduire de nouvelles lettres et
la série des substitutions se fait mentalement. Soit, par exemple,
à trouver la différentielle de e^i"^'' cos .v ; on a successivement
d.esi"^ cos A- = cos A f/.esi'i^ + esin.^ (/,cos x
= cos .V esin^ (/.sin x — e^"'^'^ sin a* dx ^ esin^ (cos" A — sin a) dx.
Re.aiarques. — Certaines fonctions de fonctions revêtent parfois une forme sous lacxaelle le mode de composition n'est pas immédiatement apparent, et il faut alors les transformer avant de les différentier.
C'est le cas pour les fonctions ii^' et Log^y, dans lesquelles u et V désignent des fonctions de a. On commencera par les exprimer au moyen d'une base constante, par exemple e ; on aura ainsi
'^ Log II
et les différentielles s'obtiennent alors par les règles précédentes. La dérivée logarithmique de y est la dérivée, y' : y, de son logarithme. La dérivée y' s'en déduit en multipliant celle-ci par y. Soit, par exemple, y ^ n^p"; on aura
Log y = V Log II -h u Log v,
^— = v l^og II A- ir Log p ■] 1
Cet exemple montre qu'il est souvent commode de passer par la dérivée logarithmique pour calculer la dérivée de y.
99. Exception aux règles précédentes. — Les règles de dérivation des fonctions composées supposent l'existence des fonctions composantes et de leurs dérivées. Si cette condition vient à manquer en certains points exceptionnels, les règles ordinaires ne s'appliqueront plus en ces points-là, et il faudra un calcul direct pour s'assurer de l'existence de la dérivée et pour la déterminer.
Considérons l'exemple classique
/'(a) --= x^ sin -.
Sauf au point a ^ 0, cette fonction est bien définie, continue et elle a pour dérivée
go CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES DUNE VARIABLE
f (x) = '2.Y sm cos - .
Achevons de définir f{x) en faisant /"(O) = 0, de sorte ([ue f{x) est encore continue au point 0. Comme sinus de i : 0 n'a pas de sens, les règles de dérivation ne s'appliquent pas au point 0. Cependant f (0) existe et se calcule directement. Puisque / (0) = 0, on a, par définition,
,, ,^, lim f(h) ,. , . I n
Il faut remarquer que f'{x) ne tend ici vers aucune limite quand x tend vers 0, auquel cas cos (i : x) oscille indéfiniment entre — i et -j- i. Cet exemple prouve donc que f{a) peut avoir une valeur déterminée, sans être la limite de f{x) quand a- tend vers a.
100. Extension des définitions au cas d'une variable complexe. — Soit 2 = A* 4- yi une variable complexe ; la dérivée d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle f{z) se définit comme dans le cas d'une variable réelle. C'est la limite, f (z), vers laquelle tend le rapport
f{zi-h)-f{z) h
des accroissements (réels ou complexes) correspondants de la fonction et de la variable quand celui-ci tend vers zéro d'une manière quelconque. Lorsque cette limite n'existe pas, la fonction n'a pas de dérivée pour la valeur considérée de z.
Les différentielles se définissent en multipliant les dérivées par la différentielle dz de la variable indépendante. Cette dernière différentielle n'est autre chose que l'accroisssment arbitraire h = ^x f- i\y que l'on attribue à cette variable.
Les règles qui ont été établies (n° gS) pour dériver une somme, un produit, un quotient de deux fonctions, une puissance entière de la variable indépendante, règles qui résultent immédiatement de la définition de la dérivée comme limite d'un quotient, subsistent intégralement dans le cas où la variable est complexe. Ces règles suffisent pour dériver un polynôme et une fraction rationnelle.
DERIVEES ET DIFFERENTIELLES Qî
