I. Démontrer les formules suivantes

bx ab dx , ^ a-\-bx 2 ah dx

d.avctg-^ = ——r— ^. Log— — 7- = -

a a- + b^x'- ' ^ "" a — bx a^ — b'^ x-

dx X dx

d.Log (.r + \/a'^ + ,1;'-) = ; d. arc sin — =

Sja^^x'^ « \/a\—x^

d. Log sin X = cotx dx d. Log ces x =^ — tg;»; dx

dx

d. Logtg -=-; d. Logtg =

2 sin;i^ V2 47 cosa;

, fb ^ ab dx , ^ a-\-b\.gx 2ab dx d.siic tg tgv = " - — r - , TT--- .; <f- T'Og — ~- =- — ^ ,, . ,

rf rtg;ir + ^

d\ (- ( ^ CCS ;ir + cos'^;tr j sin at = 4 cos-*Ar ^A- .

2. Déterminer les dérivées à droite et à gauche au point 0 des deux fonctions (supposées nulles au point 0) :

f{x) = X arc tg ^ , ? U) = J-.

i + e:^ R. On a

hm ■"— y = arc tg y = , lim ^\ , = == 0,

lim ^ = arc tg — - = , hm ^ — — '

/« \ k J 2 ' — A jL

i+« ^' Ces deux dérivées sont donc différentes.

3. Montrer que f{x) = x sin - (supposé nul pour x = 0) n'a pas de dérivée au point at == 0.

R. Le rapport /(/;): /ï est égal à sin (1 -.h) et ne tend vers aucune limite quand h tend vers 0.

§ 2. Propriétés de la dérivée. Nombres dérivés.

101. Théorème — Soit y = f{x) ; si l'on suppose A.v infini ment petit, et f (x) fini et différent de 0 au point donné x, \y et dy sont deux infiniment petits dont le rapport a pour limite l'unité.

En effet, on a, par définition de la dérivée,

s ayant pour limite 0 avec A.v. D'où, en divisant par f [x] qui n'est pas nul par hj^potlièse, et en observant que dy = f (x) à.\-,

dy ^ r {xy

Le théorème résulte de cette égalité, dans laquelle e : /'' {x) a pour limite O avec \x.