PROPRIÉTÉS DE LA DÉRIVÉE

Donc, (xuaiid Aa; est inliuiment petit, Ay et dy sont deux infiniment petits, susceptibles d'être substitués l'un à l'autre sous les conditions exposées plus haut (n° 21). On doit se garder toutefois de les confondre entre eux (*).

102. Fonction croissante, décroissante en un point. — Si /' (a-) est positif au point x, le quotient Ay : A a* a une limite positive, donc A>' est différent de O et de même signe que Aa; pour les valeurs suffisament petites de | Aa | . On dit, dans ce cas, que la fonction est croissante au point x.

Si, au contraire, f{x) est négatif, A3- et Aa sont de signes contraires pour les valeurs suffisamment petites de Aa;. Dans ce cas, la fonction est décroissante au point x.

Il résulte de là que, si f'{x) n'est pas nul, la fonction f\x) admet toujours, dans le voisinage immédiat du point a, des valeurs supérieures et inférieures à celle qu'elle acquiert au point A. Les valeurs supérieures, par exemple, s'obtiendront à droite du point a' si la fonction est croissante, et à gauche si elle est décroissante. Cette simple remarque sert de base à la proposition suivante, connue sous le nom de théorème de Eolle, quoique Rolle ne l'ait énoncée que pour un polynôme.

103. Théorème de Rolle. — Si la fonction /(a), continue dans l'intervalle (a, b), s'annule pour x = a et pour x = b et admet une dérivée unique (finie ou infinie) en tout point intermédiaire (a, b pouvant être exclus), cette dérivée s'annulera en l'un des points intermédiaires.

En effet, f{x) a une plus grande valeur M et une plus petite valeur m dans l'intervalle (a, b) (n° 27, III). Si M et m sont nuls tous deux, f{x\ étant égale à zéro dans tout l'intervalle, est une constante et sa dérivée sera nulle dans tout l'intervalle. Dans ce cas, le théorème est démontré. Si, au contraire, ]M (ou m) est différent de zéro, la fonction f{x) atteindra cette plus grande (ou plus petite) valeur (n° 27, III), pour une valeur l de a- comprise entre a et b. On aura f'{^) = 0 ; car, s'il en était autrement.

i*j Dans les ouvrages d'applications, ou a souvent le tort de les coniondre. au moins dans le langage.

la fonction /"(.v) serait croissante ou décroissante au point ç et acquerrait dans le voisinage immédiat de ce point des valeurs supérieures et inférieures à /"(i), comme on l'a monti'é au n'' précédent. Donc /"(i) ne serait pas la plus grande (on plus petite) valeur supposée.

Corollaire. — Si f{x) reprend la même valeur aux points a et b, sa dérivée s'annule en un point intermédiaire, car la fonction f{x) — /(a), qui a la même dérivée, s'annule pour A' ^ a et pour A- - b.

104. Formule des accroissements finis (Lagkange). — Soit /(a) une fonction continue dans l'intervalle (a, b) tout entier, ayant une dérivée unique (finie ou non) en tout point intérieur (au sens étroit) à cet intervalle, il en sera de même pour la fonction ç (x), définie par l'équation

o (A-) ^{b-a) [f{x) - fia)] - (A - a) [f{b) - /"(a)].

Mais cette fonction s'annule pour a = a et pour a =^ b, donc, en vertu du théorème de Eolle, sa dérivée,

'f (A) ^(fc- a) f (A) -[/•(/,) -/(a)],

s'annule pour une valeur ; de a entre a et b, d'où

m-na)^{b-a)f'{^).

Telle est la formule des accroissements finis. On la met le plus souvent sous une autre forme. Eemplaçons a par .v et b par X -\- h, alors l (qui est compris entre a et x -\- h) peut être remplacé par .v -}- ^h, 0 désignant un nombre généralement inconnu > 0 et < i. On trouve ainsi

La formule antérieure ne supposait pas a < b et, par suite, h est, dans celle-ci, de signe quelconque.

La formule des accroissements finis est une des formules fondamentales du calcul différentiel. Elle est d'un usage continuel. On en déduit le théorème suivant :

105. Théorème. — Toute fonction /(a), dont la dérivée eut con.staninient nulle dans un intervalle {a. b), se réduit à une constante dans cet intervalle.

PROPRIETES DE LA DERIVEE 00

Soient, en effet, a- et a- + h deux valeurs de a appartenant à l'intervalle (a, b), on aura, par la formule précédente, en observant que f{x) est continue (n*^ 90),

/•(A -h h) - /'(A) ^ 0, d'où /(A + h) ^ /(a),

c'est-à-dire que la fonction est une constante.

Corollaire. — Deux fonctions /'(a) et z, (a) dont les dérivées sont finies et égales dans un intervalle (a, b) ne diffèrent que par une constante dans cet intervalle.

En effet, la fonction /"(a) -r ç (x), ayant une dérivée constamment nulle, se réduit à une constante C et l'on a

/•(A) = cp (A) + C.

Ce théorème est le théorème fondamental du calcul intégral. Dans celui-ci, on se propose de trouver toutes les fonctions aj^ant une dérivée connue. On voit que le problème sera résolu si l'on peut en trouver une, car les autres s'en déduisent par l'addition d'une constante.

106. Théorème. — Si f{x) a une dérivée /"'(a) et tend vers l'infini (juand a tend vers une valeur finie a, il est impossible que f (a) conserve une valeur finie quand x tend vers a.

En effet, si | f'{x) | avait une borne supérieure finie M dans l'intervalle (a, b), la formule des accroissements finis donnerait, j)Our A compris entre a et b,

\f{x)-f(b)\ <M|A-M et, comme on peut faire tendre x vers a dans cette formule, ou voit que f{x) ne croîtrait pas indéfiniment quand a tend vers a.

107. Fonction croissante ou décroissante dans un intervalle. — Si la dérivée /"' (a) est positive ou nulle dans V intervalle (a, b), sans toutefois être constamment nulle, la fonction /(a) est croissante dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire que {b étant > a) on a f{b)

En effet, quel que soit x entre a et b, la formule des accroissement fiais s'applique aux deux intervalles aA et xb et donne

f{b)-fl^-) -{b-x)r{k)>0, /•(.v)-/(a) = (A-a)r(O>0,

96 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

cVoù f(b) /"(a-) > /(a) ,• et j'en conclus j'{b) > /(a), car l'égalité entraînerait la constante de f{x) et l'on aurait partout /"' (a-) = 0, contrairement à l'hypothèse.

De mcme, si f (x) est négatif ou nul dans l'intervnlle (a, b), sans toutefois être constamment Jiul, la fonction f{.\) décroît dans cet intervalle : on a f{b) < f(a).

108. Formule de Cauchy. — Soient f{\) et V{.\) deux fonctions continues dans l'intervalle (a. b)et admettant des dérivées bien déterminées et finies en tout j>oint intermédiaire. Sup})Osons : 1" que les deux dérivées f (x) et l'"{x) ne s'annulent pas simultanément entre ces limites et o."' que V{b) soit différent de y{a). On aura (Cauchy)

En effet, observons que la fonction de a

/•(A-) [F(^) - F(«)l - F(A-) [f{b) - /-(a)] prend la même valeur aux points a et b ; il vient, par le théorème de Kolle,

f (i) [F(^) - n^)^ - ^^'(ç) [m - fi^i)] - o.

Mais F'(i) n'est pas nul, sinon les deux dérivées /''(^) et F'(ç) s'annuleraient simultanément en vertu de cette relation (puisque F{b) — F(a) n'est pas nul). Donc on peut diviser l'équation par F{b) — F(a) et F'(ç), ce qui donne la formule de Cauchy.

Remarque. — Si F'(a-) ne s'annule pas pour a > a et < b, la c(mdition i" est évidemment vérifiée, mais la condition 2» le sera aussi, car, si F{b) était égal à F(a). ia dérivée s'annulerait en un point intermédiaire.

La formule des accroissements finis n'est qu'un cas particulier de celle de Cauchy. Tl faut faire F(a-) = x, ce (pii est permis, puisque la dérivée, F '(a) = i, ne s'annule pas.

109. Théorème. — Si f (x) est continue dans l'intervalle (a, b), à tout nombre positif z correspond un nombre 0 tel qu'on ait

pourvu que X et x \~ h appartiennent à l'intervalle (a, b).

PROPRIETES DE LA DERIVEE 97

Par la formule des accroissements finis, le premier membre se met sous la forme

Mais on peut supposer l'oscillation de la fonction continue f moindre que e dans tout intervalle < 5 (n° 27, IV), auquel cas cette différence est a fortiori < e.

Réciproquement, si A/': ^x converg-e uniformément vers sa limite f'{x), celle-ci sera fonction continue de x dans l'intervalle (a, b).

Montrons, en effet, que l'accroissement de /'' {x) peut être rendu inférieur à tout nombre donné 3 e, à condition de rendre celui de x suffisamment petit.

Prenons d'abord h assez petit pour qu'on ait, quel que soit x,

Donnons ensuite à x un accroissement (positif ou négatif) suffisamment petit pour que le rapport [f{x -\- h) — f{x)] : h, qui est fonction continue de x, varie de moins que e ; comme t] varie de moins que 2 e, f'{x) variera de moins que 3 e.

110. Théorème. — Si f{x) est continue et dérivable dans l'intervalle (a, b), f'{x) ne peut j)asser d'une valeur à une autre dans cet intervalle sans ])asser par toutes les valeurs intermédiaires (Darboux).

Considérons d'abord le cas où /"'(a) et f'{b) sont de signes contraires ; je dis que f'{x) s'annule entre a et b. En effet, soit, pour fixer les idées, /"'(a) > 0 et f'{b) < 0, la plus grande valeur de f{x), ne pouvant être atteinte ni en a ni en b, le sera en un point intermédiaire i, où l'on aura donc /''(i) = 0.

Passons au cas général. Soit A un nombre compris entre /'(a) et f'(b) ; la fonction f{x) — Ax aura ses dérivées de signes contraires en a et en b, Donc il existe un point intermédiaire où /■'(C)A=.Oetr(0 = A.

Il est à remarquer que la propriété énoncée dans ce tliéorème appartient aux fonctions continues (n° 27, VI) mais ne les caractérise pas.

go CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES D UNE VARIABLE

111. Nombres dérivés. — Soit /(.r) une fonction univoque de x ; considérons le rapport

Quand h tend vers zéro en restant positif, ce rapport a nne plus grande limite et une plus petite limite qui peuvent être finies ou infinies (n^ i5). La première est le nombre dérivé supérieur à droite, la seconde le nombre dérivé inférieur à droite. On les représente par les symboles (Dini) :

Si ces deux nombres sont égaux, leur valeur commune sera celle de la dérivée à droite au point .v (no go).

De même, la plus grande et la plus petite limite du rapport précédent quand h tend vers 0 en restant négatif, sont les nombres dérivés supérieur et inférieur à gauche. On les représente par Ax et X.^ et, s'ils sont égaux, leur valeur commune est celle de la dérivée à gauche.

Au lieu de nombres dérivés, nous dirons aussi bien dérivées supérieures ou inférieures à droite ou à gauche.

Si l'on change x en — x, les dérivées à droite se permutent avec celles de gauche ; si l'on remplace f{x) par — f{x), les supérieures se permutent avec les inférieures en changeant de signe.

Cette simple remarque permet, dans bien des cas, d'étendre immédiatement aux quatre nombres dérivés un théorème établi pour l'un d'eux.

112. Propriétés des nombres dérivés d'une fonction continue. —

1. Si L et l sont les bornes supérieure et inférieure de Vun des quatre nombres dérivés dans l'intervalle ab {b > a) (*), et si la fonction f(x) est continue dans cet intervalle, on aura

Supposons qu'il s'agisse de la dérivée supérieure à droite A et proposons-nous d'établir la seconde inégalité. Il suffira de montrer que, quelque petit que soit s positif, il est impossible que l'on ait

/(7;)-/(fl)-(L + e)(ô-fl)>0.

En effet, si cette inégalité avait lieu, la fonction continue

(*) Pour déterminer ces bornes, on ne doit pas tenir compte de la dérivée à droite du point b ou à gaurhe du point n, la définition de ces nombres se faisant en dehors de l'intervalle ab.

NOMBRES DERIVES 99

qui est certainement négative pour x suffisamment voisin de a (puisque /^^ < L + £), changerait de signe et s'annulerait, par conséquent, entre a et b. Soitc sa plus grande racine inférieure à b ; pour .v > c, on aura 'f [x) > 0, donc cp (;*;) — ce {c) > 0, c'est-à-dire

donc Ac serait ^ L + £, ce qui est contraire à la définition de L.

II. Les quatre nombres dérivés ont la même borne supéneure et la même borne inférieure finie ou infinie dans tout intervalle (*) (Dini).

Pour fixer les idées, considérons les deux bornes supérieures L et L' des deux dérivées supérieures A et A'. Si x' et .v" sont deux valeurs quelconques de x, le théorème précédent s'applique à l'intervalle .r'.v" et donne

Donc aucun nombre dérivé ne peut surpasser ni L ni L' donc L et L', ne pouvant se surpasser l'un l'autre, sont égaux.

En particulier, 5^' Vun des quatre nombres dérivés est continu en un point ou dans un intervalle, ils le sont tous, et la fonction (supposée continue) a une dénvée unique en ce point ou dans cet intervalle.

Donc encore, 5/ l'un des nombres dérivés est constamment nul, la fonction f{x) a une dérivée unique nulle et se réduit à une constante.

113. Fonction croissante, décroissante dans un intervalle. — Si l'un des nombres dérivés d'une fonction continue f{x) est constamment positif ou nul (sans l'être constamment) dans F intervalle ab, la fonction est croissante dans cet intervalle, c'est-à-dire que f{b} y f{a).

En effet, le théorème 1 du no précédent s'applique aux intervalles {a, x) et {x, b) et, la borne inférieure / étant > 0, on en conclut

Donc f{b) > f{x) > f{a) et j'en conclus/(è) > /(«), car l'égalité entraînerait la constante def{x), etf'{x) serait constamment nul.

De même, si l'un des nombres dérivés est constamment négatif ou nul (sans l'être constamment) dans l'intervalle ab, la fonction continue f{x) est décroissante dans l'intervalle ab, c est-à-dire que f{b) <f{a).

114. Théorème. — Soitf{x) une fonction continue dans l'intervalle {a, b) ; si f{b) est plus petit {plus grand) que fia), l'ensemble des points de cet intervalle où un même nombre dérivé de f{x), par exemple A, est négatif (positif) a la puissance du continu et contient un ensemble parfait.

[*) Voir la note de la page précédente.

100 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

Soit/(è) < f{a). Prenons t positif assez petit pour que la fonction

.. (,r)=/(.v) /(«) + s (^--fl),

nulle pour x ■■= a, soit négative pour x = b. Soit ensuite c un paramètre négatif supérieur à o {b). Considérons la courbe y = cp(,r) et l'horizontale v=c ; la courbe est au-dessus de l'horizontale au point a et en dessous au point b. Donc l'horizontale coupe la courbe entre les deux. Soit M le point d'intersection dont l'abscisse X est la plus grande : la courbe sera sous l'horizontale à droite du point X, de telle sorte qu'on a, pour h positif assez petit,

Donc, quand h tend vers 0, il vient, à la limite, au point X,

A + £ =^ 0, d'où A < — £ < 0.

A chaque valeur du paramètre c entre 0 et 'f (b) correspond un point X différent où A est négatif. On voit déjà que l'ensemble E de ces points X a la puissance du continu.

Je dis que l'on a aussi A £^ — s aux points-limites de l'ensemble E. Observons, en effet, que M se déplace vers la gauche quand l'horizontale s'élève, c'est-à-dire que X varie en sens contraire de c. Considérons donc une suite de points X tendant vers un point-limite Xj (de gauche à droite par exemple) et la droite variable y = c correspondante. Celle-ci descend alors constamment et tend vers une positionlimite v = Cl ; mais à droite du point X, elle était toujours au-dessus de la courbe, donc, dans sa position-limite, elle l'est encore (le contact étant possible). Le même raisonnement que tout à l'heure s'applique donc encore au point-limite Xi et prouve que l'on a A + ' ^ 0 en ce point.

En définitive, on a A < 0, dans l'ensemble E et son dérivé, c'est-àdire dans un ensemble fermé ayant la puissance du continu, donc dans un ensemble parfait (nos 5i et 6g).

Remarque. — Si l' ensemble E des f>oints où la dérivée supérieure A est négative était de mesure nulle, l'ensemble Ei des points oii cette dérivée est in/inie négative contiendrait aussi un ensemble parfait.

Prenons, en effet, t assez petit pour que f{b) — f{a) + z soit encore négatif, et donnons-nous une suite illimitée positive t^, to, h,... telle que l'on ait

Enfermon.-, successivement E (au sens étroit) dans une infinité d'mtervalles a, puis d'intervalles 3, puis d'intervalles y,... tels que

NOMBRES DERIVES lOI

Désignons par ^(x) la somme, fonction de x, des longueurs de tous les intervalles a, [3, y,... et portions de ces intervalles entre a et x. Cette fonction positive (f{x) est < £ dans {a, b) ; elle est essentiellement croissante (ou constante) ; ses nombres dérivés sont positifs (ou nuls) partout, mais, de plus, infinis en chaque point de l'ensemble E, lesquels sont intérieurs à une infinité d'intervalles «, ?, y,..., auquel cas '^(,r) croît plus rapidement que tout multiple de x.

Ceci fait, la fonction

ne peut avoir sa dérivée supérieure A négative qu'aux points de l'ensemble El contenu dans E oi^i celle de/(.v) est infinie négative. Comme on a d'ailleurs f(b) + '-p(è) </{a) -j- 'f(a), on est ramené au théorème précédent.

1 15. Théorème. — Si un nombre dérivé d'une fonction continue f{x) change de signe dans un intervalle (a, b), l'ensemble E de tous les points où ce nombre a le même signe contient un ensemble parfait. Si, de plus, E est de tnesure nulle, la partie de E où le nombre dérivé est infini contient aussi un ensemble parfait.

Supposons, pour fixer les idées, que E soit l'ensemble des points où A < 0. Si A est < 0 au point x,f{x + h) sera < f{x) à condition que h soit positif assez petit, ce qui ramène au théorème précédent.

116. Théorème généralisé de Scheeffer. — Si, dans un intervalle {a, b), deux fonctions fi{x) et /^(.v) ont leurs nombres dérivés supérieurs à droite : 1° finis en chaque point sauf peut être dans un ensemb^ Ei, et 2" égaux sauf peut-être dans un ensemble de mesure nulle, les deux fonctions ne diffèrent que par une constante dans l'intervalle {a, b), à moins que Ej ne contiemie un ensemble parfait.

En effet, les dérivées supérieures à droite étant de plus grandes limites, on a, en considérant A comme un symbole opératoire,

Donc/i — fz a son nombre dérivé A nul ou positif sauf dans un ensemble de mesure nulle, et il ne peut être infini négatif que si A/i ou A/2 est infini, donc dans Ei. Par conséquent, si Ei ne contient pas d'ensemble parfait, ce nombre dérivé ne peut être négatif en vertu du théorème précédent, et la fonction /i — /o est constante ou croissante dans {a, b). Pour les mêmes raisons, /^ — /i l'est aussi. Ces deux fonctions ne pouvant être en même temps croissantes, elles sont constantes.

Un ensemble parfait n'étant pas dénombrable, le théorème précédent renferme comme cas particulier l'énoncé de Scheeffer :

Deux fonctions continues qui, dans un intervalle {a, b), ont la même dérivée supérieure à droite finie, sauf pour un ensemble dénombrable de points, ne peuvent différer que par une constante dans cet intervalle.

Remarque. — Le théorème précédent admet une sorte de réciproque :

Une fonction dont les nombres dérivés peuvent être infinis sur un ensemble parfait E de mesure nulle, mais sont donnés et finis partoiit ailleurs, demeure cependant arbitraire.

En efifet, la correspondance entre les points x de E et ceux y du segment O-i, définit (no 65) une fonction continue croissante x = 'f(j'), dont l'inverse V = 'K-^') est une fonction continue de x, croissante pour les points de E et constante dans les intervalles contigus à E. Soit F( v) une fonction continue arbitraire; la fonction ¥['lx) aura sa dérivée nulle sauf au point de E : elle demeure cependant arbitraire avec F.

§ 3. Dérivées et différentielles successives.

117. Définitions. — Soit v = f{x) une fonction univoque d'une variable réelle x, ayant une dérivée dans un intervalle. Si cette nouvelle fonction, y' = t\x), admet une dérivée en un point x de cet intervalle, ou la représente par y", f"{x) ou D'y et on l'aijpelle la dérivée seconde de y.

De même, la dérivée troisième est la dérivée de v". Elle se désigne par y'", f"'{x), D^y. On continue ainsi de suite, de sorte que la dérivée d'ordre n est la dérivée de celle d'ordre ii — i. Elle se représente par y'-'^^, p^\y) ou D'» y.

Si, pour définir les dérivées successsives au point a, on ne tient compte que des valeurs de x qui sont > a, on obtient les dérivées successi\^s à droite au point a ; on obtient celles à gauche si x < a.

11 faut observer que, d'après ces définitions, l'existence d'une dérivée finie D"3'au point .y exige celle d'une dérivée D"~*y finie et déterminée aux environs de .v, donc la continuité des dérivées d'ordre moindre aux environs du même x)oint.

Les dérivées successives des fonctions rationnelles d'une variable complexe se définissent comme quand la variable est réelle. 11 n'y a pas lieu de nous y arrêter. Revenons aux variables réelles.

Si dy est différentiable, sa différentielle est la différentielle seconde de y et se désigne par d'^y. Cette nouvelle différentielle dépend de la relation que l'on veut établir entre la variable x et sa différence t^.v ou dx. Si cette différence est la même pour toutes les valeurs de x et la même encore dans les différentiations successives, elle doit être traitée comme une constante et l'on a

d'y = d.f'{x) dx = f"{x) dx'.

DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES Io3

De même, la différentielle troisième d^y est celle de d- j, on a dy = d.f"{x) dx' - f'"{x) dx\ et ainsi de suite. En général,

On tire de là

, dy ,, d'y ,„ d'^ y

■^ '^dx' -^ ~dx^'"' '^ ^ dx^' '

Donc la dérivée n^ème d'une fonction est le quotient de la différentielle n^^tne de la fonction par la puissance n'''"^^ de la différentielle de la variable prise constante par rapport à x, ce qui fournit une nouvelle manière de représenter cette dérivée et celle qui est le plus généralement employée.

Remarque. — La condition que dx soit constant par rapport à X n'empèclie pas que dx j)uisse varier à un autre point de vue. Ainsi on peut faire tendre dx vers 0, pourvu que ce soit pour toutes les valeurs de x en même temps et de la même manière.

118. Des différences finies. — Si l'on donne à a* un accroissement ilx, la fonction continue f{x) prendra un accroissement

que nous appellerons différence première de f{x).

La différence de la différence première est la différence seconde, elle se représente par !^^f{x), et ainsi de suite. On prend la différence ^x indépendante de x, de sorte que

^'f{x) ^ f{x + 3Aa) - 3/-(A + 2Aa) -f- 3/-(a + Aa) - f{x),

et ainsi de suite.

Il existe, entre ces différences successives et les dérivées successives de f{x), une relation importante que voici :

(1) ^^f{x) = ^x^^fi%x + 8/iAa) (0 < 6 < I).

Elle supj)Ose /■^"'(a) déterminée entre a et a + nàx (limites exclues) et /"(«-^ (a) continue dans cet intervalle entier. Nous appellerons cela les conditions d'ordre n. Pour /i = i, la formule est exacte : c'est celle des accroissements finis. Pour

I04 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

l'établir en général, il suffit donc de l'étendre de l'ordre n — i à n. A cet effet, remarquons que les conditions d'ordre n pour f{x) entraînent celles d'ordre n — i pour la fonction

Appliquons-lui donc la formule (1) pour l'ordre n — i, nous trouvons

(2) ^''f{x) - Aa-»-i [f\^^-%x + Aa- + 9[/7— ]]àA-) -

/•i«-i)(a> -| ô[n ijAx)]

Transformons enfin la différence entre crochets par la formule des accroissements finis (dont l'emploi est légitimé par les conditions d'ordre n), nous obtiendrons la formule (1).

La formule (2) conduit à un autre résultat important. Les conditions d'ordre n — i qu'elle suppose auront lieu pour | ^x \ suffisamment petit, si f " (x) a une valeur déterminée et finie. On a, dans ce cas, par définition de /"(")(a;), les e tendant vers 0 avec Aa-,

/•(«-i!(.v + Aa- + e [n — i] ^x) — fi^-%\)

= (i + hi — 8) AAf('^'(A-) + s'Aa;, p^-%\ + e [n — I] ^x) - p^-%x)

:.- (Qn — 8) AAf «)(a-) + e'^x,

et, en substituant dans (2) la différence de ces deux quantités, 1" f{x) = Aa"' [/■i«)(a) + e], d'où lim ^^ /"')(a;).

Donc la dérivée n^ème^ supposée finie et déterminée en un point, est la limite du rapport de la différence n^éme (Jq /^ fonction par la puissance n'^"^'' de la différence de la variable, quand cette différence, supposée indépendante de x, tend vers zéro.

119. Dérivées n'<''"<^''^ des fonctions élémentaires. — La détermination d'une dérivée d'ordre quelconque pour une fonction élémentaire ou composée, ne peut présenter d'autre difficulté que la longueur des calculs, si cet ordre est donné numériquement. Mais, si l'on veut exprimer la dérivée n^ème ^^ fonction de n, n restant arbitraire, le problème est plus difficile. Toutefois, pour quelques fonctions élémentaires, la solution est simple.

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES SUCCESSIVES lo5