CHAPITRE XL

Des séries.

§ I . Généralités sUr les séries à termes constants. Séries positives Sgg

§ 2. Séries numériques quelconques. Opérations sur les séries . 409

§ 3. Séries de fonctions 417

§ 4. Séries potentielles 426

§ 5. Développement des fonctions réelles en séries potentielles.

Discussion du reste 4^3

§ 6, Fonctions entières élémentaires. Exponentielles imaginaires 44Ï

j^ 1. Nombres réels

1. Nombres rationnels. — Les nombres entiers et les nombres fractionnaires positifs on négatifs, y compris le nombre zéro, forment Vensemble des nombres rationnels. Nons supposerons que l'on connaît les pro^iriétés les plus élémentaires de ces nombres et que l'on sait effectuer sur eux les quatre opérations fondamentales de l'arithmétique. Toutefois il y a lieu de rappeler ici les propriétés suivantes :

1° L'ensemble des nombres rationnels est ordonne, c'est-àdire que de deux nombres rationnels différents a et b l'un est plus grand que l'autre, par exemple b est plus grand que a, ce qu'on écrit

a < b oa b > a.

La notion d'ordre exprimée par cette relation se réduit d'ailleurs à cette seule j)ropriété du signe d'inégalité que si a est < b et b < c, on a aussi a < c.

12° Entre deux nombres rationnels différents a et b, on peut toujours en intercaler une infinité d'autres > que l'un et < que l'autre. On dit qu'un ensemble de nombres qui jouit de cette in-opriété est im ensemble dense et cette propriété s'appelle la densité.

2. Nombres irrationnels. — L'introduction des nombres irrationnels repose sur les considérations suivantes :

Supposons que par un procédé quelconque, et nous allons en indiquer plusieurs, on ait partagé tous les nombres rationnels en deux classes, une classe inférieure A et une classe snpérieai-e

B, telles que tout nombre a de la première soit < que tout nombre b de la seconde. Un tel partage s'appelle une coupure. D'abord il est clair, ce partage étant fait, que, si le nombre a est de la classe A, il en sera de même pour tout nombre < a et que, si h est de la classe B, il en sera encore de même pour tout nombre > b. Ce premier point admis, je dis que trois cas pourront se présenter :

i*" La classe inférieure A renferme un nombre m plus grand que tous les autres de la même classe, de sorte que tout nombre < m est de la classe A et tout nombre > m de la classe B. Le nombre m sépare donc la classe A de la classe B et nous l'appelons le nombre frontière des deux classes.

2** La classe supérieure B renferme un nombre m plus petit que tous les autres de la même classe. Dans ce cas encore, m est la frontière des deux classes : tout nombre < m est de la classe A et tout nombre > m de la classe B.

Ces deux premiers cas s'excluent l'un l'autre, car, s'il y avait deux nombres frontières différents m et m', tous les nombres compris entre m et ni' seraient à la fois de la classe A et de la classe B, ce qui est en contradiction avec la définition de ces classes. Donc, s'il y a un plus grand nombre dans la classe A, il n'y en a pas de plus petit dans la classe B, et réciproquement.

Ces deux premiers cas sont faciles à réaliser. Il suffit de se donner un nombre quelconque m, on range les nombres < m dans la classe A, les nombres > m dans la classe B. Le nombre m peut encore se ranger dans l'une ou dans l'autre. On obtient ainsi, à son choix, le premier ou le second des deux cas que nous venons d'examiner. Xous disons, dans l'un et dans l'autre, que le nombre m détermine la coupure (A, B) et que cette coupure est rationnelle.

3'^ Enfin il peut se faire qu'il n'y ait pas de plus grand nombre dans la classe A ni de plus petit nombre dans la classe B. Des considérations très simples conduisent à une semblable coupure. Soit, par exemi)le, m un nombre > 0 non carré parfait ; tous les nombres rationnels pourront se ranger en deux classes A et B, la classe A contenant tous les nombres négatifs et les nombres positifs dont le carré est < m, la classe B les nombres

NOMBRES REELS

positifs dont le carré est > m. U n'y aura pas de plus grand nombre dans la classe A, car, étant donné un nombre quelconque a dont le carré est < m, on peut en trouver un autre plus grand en extrayant la racine carrée de m par défaut avec un nombre suffisant de décimales pour que le carré de cette racine soit plus rapproché de m que ne l'est de a^. Pour une raison analogue, il n'y aura pas de plus petit nombre dans la classe B.

Lorsque cette circonstance se présente, nous disons que la coupure est irrationnelle. Il n'y a plus de nombre frontière séparant les deux classes, car ce nombre ne poui-rait être que le plus grand de A ou le plus petit de B. Xous créons alors un nouveau symbole, par exemple \/2, Tt,..., défini par la condition d'être plus grand que tous les nombres de A et plus i^etit que tous ceux de B, et nous disons que ce nouvel élément, qui s'intercale entre les nombres rationnels, est un nombre irrationnel.

L'ensemble des nombres irrationnels correspond à toutes les coupures possibles. Chaque nombre irrationnel est défini par la coupure (A, H) qui lui correspond, et nous pouvons désormais le représenter par une lettre tout comme un nombre rationnel.

Lorsqu'un nombre irrationnel a est compris entre deux nombres rationnels a et b dont la différence est égale ou inférieure à une fraction positive s, on dit que a et b sont des valeurs approchées par défaut ou par excès de a à moins de s près. Un nombre irrationnel a étant défini, on peut toujours en trouver des valeurs aussi rapprochées que l'on veut, ainsi qu'il résulte du théorème suivant :

Soit a le nombre irrationnel défini par la coupure (A, B) ; quelque petite que soit la fraction positive s. on jieui trouver respectivement clans les classes A et B deux nombres a et b dont la différence soit égale à s.

En effet, soit aj un nombre de A, la progression

croissant indéfiniment, renfermera un premier terme de la classe B, par exemple a^ -\- ne ^ b. Alors le nombre précédent a = ai + (/i — i) e sera de la classe A et ces deux nombres a et b satisferont aux conditions du théoi'èmc

3. Nombres réels. — L'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels forme Vensemhle des nombres réels.

Pour l'ordonner, il faut indiquer les relations de grandeur entre ses éléments. Pour cela, il ne reste plus à définir que celles entre nombres irrationnels.

.Soit a un nombre irrationnel défini par la coupure (A, B) ; un nombre irrationnel a' sera égal à a, s'il est défini par la même coupure, c'est-à-dire s'il est aussi supérieur à tous les nombres de A et inférieur à tons ceux de B ; mais a' sera différent de a s'il existe un nombre rationnel compris entre eux. Ainsi a' sera > a s'il est > qu'un nombre de B, il sera < a s'il est < qu'un nombre de A.

Le théorème suivant prouve que la densité est aussi une propriété de l'ensemble des nombres réels :

Entre deux nombres réels différents, on peut toujours intercaler un nombre rationnel et, par suite, une infinité.

Si les deux nombres sont irrationnels, le théorème se confond avec la définition même de l'inégalité. Si l'un des nombres est irrationnel et défini par la coupure (A, B), tandis que l'autre est rationnel, celui-ci sera de la classe A ou de la classe B et ne pourra être ni le plus grand de A ni le plus petit de B, la conclusion est donc la même. Enfin le théorème est supposé connu (n'' i, 2") si les deux nombres sont rationnels.

L'ensemble des nombres réels jouit d'une propriété que ne possédait pas l'ensemble des nombres rationnels et que l'on peut exprimer par le théorème suivant :

Si, par un procédé quelconque, on fait une coupure (A, B) dans l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire si l'on partage ces nombres en deux classes A et B, telles que tout nombre de la première soit < que tout nombre de la seconde, il existe nécessairement un nombre frontière, rationnel ou non, m, qui détermine la coupure, c'est-à-dire tel (]ue tout nombre < m soit de la classe A et tout nombre > m de la classe B.

Eli effet, soit m le nombre rationnel ou irrationnel qui fait la frontière des deux classes de nombres rationnels respectivement comprises dans A et dans B. Tout nombre rationnel > m est de la classe B et tout nombre rationnel < m de la classe A. Reste à montrer que ces conclusions subsistent pour un nombre irrationnel.

NOMBRES REELS

Mais cela s'aperçoit de suite, car un nombre irrationnel > m est > qu'une infinité de nombres rationnels > m, lesquels sont de la classe B, donc il est de la classe B ; un nombre irrationnel < m est < qu'une infinité de nombres rationnels < m et est avec eux de la classe A.

Les considérations précédentes laissent encore incomplète la définition mathématique des nombres irrationnels, il reste à y ajouter les définitions des quatre opérations fondamentales de l'arithmétique.

4. Symétrique d'un nombre réel. — Nous appelons .symétrique d'un nombre rationnel ce nombre changé de signe. La définition peut s'étendre aux nombres irrationnels. Soit a un nombre irrationnel défini par la coupure (A, B) ; désignons par — B la classe formée par les symétriques des nombres de B et jjar — A la classe formée par les symétriques des nombres de A ; tout nombre rationnel étant le symétrique d'un autre et tout nombre de la classe — B < que tout nombre de la classe — A, la coupure ( — B, — A) définit un nombre irrationnel que nous désignerons par — a et que nous appellerons le symétrique de a. On aura encore d'après cette définition — ( — a) = a.

5. Nombres positifs et négatifs. Valeur absolue. — Les nombres positifs sont ceux qui sont > 0 et ils sont > qu'une infinité de nombres rationnels également positifs. Les nombres négatifs sont ceux qui sont < 0 et ils sont < qu'une infinité de nombres rationnels négatifs. Si un nombre est négatif, sou symétrique est positif. Celui des deux nombres a ou — a qui est positif s'appelle la valeur .absolue de a et se désigne par |aj.

6. Inverse d'un nombre réel. — Soit a un nombre différent de zéro ; s'il est rationnel sou inverse est - ou i : a. Supposons a

Cf.

irrationnel ; alors a partage tous les nombres rationnels de même signe que lui en deux classes A et B, dont la connaissance suffit évidemment pour le définir. Désignons par B-^ la classe formée par les inverses des nombres de B et par A-^ la classe formée j)ar les inverses des nombres de A. Tout nombre rationnel autre que zéro étant l'inverse d'un autre, la coupure (B-^ A'') de tous les nombres rationnels de même signe que a

INTROUrCTlON

Pli deux classes définit un iiombi-o irrationnel de même signe. que nous désignerons i)ar i : 7. et (|U(' nous ajJiiellerons «Micorc l'inverse de a.

7. Addition. — Soient a et a' deux nombres réels quelconques. Désignons par a et a', b et b' , des nombres rationnels quelconques satisfaisant aux conditions :

Tous les nombres de la forme a + a' seront <: que ceux de la forme b -r- b' . D'ailleurs on pourra supposer (n" 2) les valeurs de a et de /? suffisamment rapprochées de a, celles de a' et de // suffisamment rapprochées de a', pour que les différences b — a, b' — a' et par suite {b + /?') — (a + a') deviennent aussi petites que l'on veut.

Je dis qu'il existe un nombre réel a" et un seul > que tout nombre de la forme a + a' et < que tout nombre de la forme /) 4- b' et dont ces deux sommes représentent des valeurs aussi rapprochées que l'on veut par excès ou par défaut, Ce nombi'c a" s'appelle la somme de a et de a' et se désigne par a -f a'.

En effet, considérons la coupure (A, B) de l'ensemble des nombres réels, la classe B contenant ceux qui surpassent tous les nombres de la forme a + a' et la classe A les autres nombres. En particulier, tous les nombres de la forme a -f- a' sont de la classe A et tous ceux de la forme b -[- b' de la classe B. Comme il n'y a pas de plus grand nombre de la forme a -\- a' ni de plus petit de la forme b -f b' , le nombre frontière a" entre les deux classes A et B sera plus grand que tous les premiers et plus petit que tous les seconds. Il reste donc seulement à montrer que le nombre qui jouit de cette propriété est unique. A cet effet, remarquons que, s'il existait deux nombres fixes toujours supérieurs aux nombres a ^ r' et inférieurs aux nombres b 4 b\ on pourrait trouver deux nombres rationnels r et r' compris entre ces nombres fixes et qui jouiraient de la même propriété. Or ceci est impossible, car on peut supposer la différence {b -\- b') — (a + a') inférieure à /■ — r'.

Cette définition, qui contient comme cas particulier celle de l'addition des nombres rationnels, permet de vérifier immé-

NOMBRES RÉELS

diatement que l'on a conservé les propriétés commutative et associative de l'addition, exprimées par les équations :

que l'on a encore

enfin que la valeur absolue d'une somme ne peut surpasser la somme des valeurs absolues de tous ses termes.

8. Multiplication. — Soient a et a' deux nombres réels positifs ; désignons encore par a et b, a' et b' des nombres rationnels et positifs quelconques assujettis à vérifier les inégalités :

Tous les produits de la forme aa' seront < que ceux de la forme bb' et l'on pourra supposer les différences b — a, b' — a et bb' — aa' aussi petites que l'on voudra. On montrera, en raisonnant comme dans le cas de l'addition, qu'il existe un nombre réel positif et an seul a" > que tout produit de la forme aa' et < que tout produit de la forme bb'. Ces produits peuvent être supposés aussi rapprochés qu'on veut du nombre a". Celuici se nomme le produit des nombres a et a' et se désigne par aa'.

Si l'un des deux nombres a, a' ou tous les deux sont négatifs, la définition du produit se ramène à la précédente par la règle des signes, c'est-à-dire par les relations

aa' = — a ( — a') = ( — a) ( — a').

Ces définitions permettent de vérifier immédiatement que l'on a conservé les propriétés commutative, associative et distributive de la multiplication, exprimées par les relations générales :

aa' = a'a, (aa') a'' = a (a'a"), a (a' -j- 3'-") = ^'y-' + aa".

On a encore

a. - = I, a.i = a, | aa' | ^ | a | | a' | .

Enfin un produit de plusieurs facteurs ne peut être nul iiue si l'un des facteurs est nul et est toujours nul dans ce cas.

9. La soustraction est l'opération inverse de l'addition. Sous-

8 IXTROUUCTIOX

traire a' de a c'est déterminer le nombre qu'il faut ajouter à a' pour obtenir a. Ce nombre s'appelle la différence de a et a' et onle désigne par a — a'. T*our le déterminer, posons .v = a — a' ; on aura la condition a' -j- .v =- a, et, en ajoutant — a' aux deux membres, on obtient, par les propriétés de l'addition, .v = a. + ( — a'). Donc la différence a — a' s'obtient en ajoutant à a le symétrique de a'. (Jette règle ramène la soustraction à l'addition et prouve (jue cette opération a toujours une solution et une seule.

10. La division est l'opération inverse de la multiplication. Diviser y. par y.' c'est déterminer un nombre dont le produit par Cf.' reproduise a. Ce nombre s'appelle le quotient de a par a' et se représente par a : a'. Pour le déterminer, posons .v -= a : a' ; on aura la condition .v a' ^ a. Si 2' n'est pas nul, on peut nudtiplier les deux membres de cette égalité par i : a', et on en tire, par les propriétés de la multiplication, a' -= a (i : a). Donc le (jiiotient de a par a' est égal au produit de a par l'inverse de a'. Cette règle ramène la division à la multiplication et prouve que cette opération a toujours une solution et une seule, pourvu ([ue le diviseur soit différent de zéro.

Il est maintenant facile de montrer que toutes les règles de l'algèbre élémentaire pour la transformation et la combinaison des égalités et des inégalités, subsistent avec les quantités généralisées. Xous ne nous y arrêterons pas davantage.

S 2. Variables réelles. Théorie des limites

11. Continuité de l'ensemble des nombres réels. — Les nombres réels, c'est-à-dire les nombres tant rationnels qu'irrationnels, servent à exprimer la mesure des grandeurs continues, longueurs, aires, volumes, etc. On dit aussi que l'ensemble des nombres réels est un ensemble continu et l'on peut, au i)oint de vue mathématique, définir la continuité de cet ensemble par les deux propriétés suivantes :

1° Entre deux nombres réels différents on peut toujours en intercaler une infinité d'autres > que l'un et < que l'autre.

2" Si l'on partage tous les nombres réels en deux classes A et B, telles que tout nombre de A soit < que tout nombre de B,