THEORIE DES LIMITES

ces deux classes seront séparées par un nombre frontière m qui sera le plus grand de A ou le plus petit de B, mais tout nombre < m sera de la classe A et tout nombre > m de la classe B,

Nous avons montré dans un paragraphe " précédent (n'^ 3) comment on peut démontrer ces propriétés en toute rigueur, en les faisant reposer sur des définitions purement arithmétiques. Mais, quand on applique les nombres réels à la mesure des grandeurs concrètes, on admet comme un postulat qu'à toute grandeur correspond un nombre ec réciproquement.

12. Bornes d'un ensemble de nombres. — Souvent on considère rensemble fini on infini de tous les nombres qui satisfont à certaines conditions précises. Par exemple, on peut considérer l'ensemble des restes d'une division, celui des réduites d'une fraction continue (limitée ou non), celui des nombres rationnels, celui des fractions proprement dites comprises entre 0 et I, etc. La notion des bornes d'un ensemble est alors fondamentale.

Un ensemble est borné .supérieurement si l'on peut assigner un nomlu-e A plus grand que tous ceux de l'ensemble ; il sera borné inférieurement si l'on peut assigner un nombre a plus petit que tous ceux de l'ensemble. S'il est borné dans les deux sens, on dira simplement qu'il est. borné.

Quand un ensemble est borné supérieurement, il existe un plus petit nombre qui n'est inférieur à aucun de ceux de l'ensemble : c'est la frontière des deux classes de nombres A et B, A contenant les nombres inférieurs à un nombre au moins de l'ensemble, et B les autres nombres. Cette frontière s'appelle la borne .supérieure de l'ensemble. C'est le plus petit nombre de la classe B, car il ne peut y en avoir de plus grand dans la classe A. L'ensemble d'un nombre limité de nombres est évidemment borné par le plus grand d'entre eux, mais un ensemble infini peut ne pas renfermer un nombre plus grand que tous les autres (égalité non exclue). Dans ce dernier cas, la borne supérieure n'est pas un nombre de l'ensemble et l'on dit qu'elle est inaccessible. C'est ainsi que la borne supérieure des frac^ tions comprises entre 0 et i est i et n'appartient pas à l'ensemble (car I n'est pas une fraction).

iNTRODÙCtlON^

De môme, un ensemble borné inférieurement admet une borne inférieure : c'est le plus grand nombre qui n'est supérieur à aucun de ceux de l'ensemble.

En résumé, on voit que si m et M sont les bornes inférieure et supérieure d'uii ensemble borné, l'ensemble ne contient aucun nombre < m ni > M, mais il en contient certainement de < m + e et de > M — e quelque petit que soit le nombre positif e.

La différence entre les bornes supérieure et inférieure s'appelle Voscillaton de l'ensemble.

13. Variables réelles en général. — Soit a: une variable réelle, c'est-à-dire une quantité qui passe par une infinité de valeurs réelles. Considérons l'ensemble de toutes les valeurs que peut recevoir x. Si cet ensemble est borné supérieurement ou inférieurement, la variable x est aussi bornée supérieurement ou inférieurement et les bornes de l'ensemble sont les bornes supérieure ou inférieure de a:.

On dit que la variable x varie dans T intervalle (a, 6), lorsqu'elle peut recevoir toutes les valeurs comprises entre a et b, y compris ces valeurs extrêmes. Xous supposons toujours, sauf indication contraire, que l'on sl a < b. Ces nombres sont donc les bornes inférieure et supérieure de a- et elles sont accessibles.

Si X reçoit toutes ces mêmes valeurs sauf la seule valeur a, ou bien sauf la seul valeur b, ou bien encore sauf les deux seules valeurs a et b, on écrit respectivement, pour indiquer que ces bornes sont alors inaccessibles, que a; varie dans les intervalles (a + 0, b), ou bien (a, b — 0), ou enfin (a -^-0, b — 0).

Quand x peut prendre toutes les valeurs comprises entre a et b et ces deux valeurs elles-mêmes, on dit que a; varie dans cet intervalle au sens large. Au contraire, x varie dans l'intervalle (a, b) au sens étroit si a: ne peut pas prendre les valeurs a et b.

Les valeurs de a- qui sont > a et < /> sont dites intérieures à l'intervalle (a, b). Quand x varie dans l'intervalle (a, b) au sens étroit, x ne prend donc que les valeurs intérieures à l'intervalle (a, b).

La variation de .v se représente géométriquement par le déplacement d'un point sur une droite indéfinie 00' ; on porte

THEORIE DES tiMITES 11

sur 00' une longueur OX = .y dans un sens déterminé par le signe de .y. Sauf indication contraire, on suppose la droite horizontale et les segments positifs comptés de gauche à droite. Par allusion à cette, représentation, une v'aleur particulière de .Y s'appelle un point, la valeur x -= a le point a, etc.

14. Limite d'une variable. — Soit x une variable réelle qui passe successivement par une infinité de valeurs suivant une loi quelconque, de telle sorte qu'à chaque valeur prise par .y, on puisse distinguer les valeurs (jui précèdent de celles qui suivent et qu'aucune valeur de .y ne soit la dernière. On dit que X tend vers une limite déterminée, si les valeurs successives de .Y se rapprochent d'un nombre déterminé a, de telle sorte que la différence .y — a finisse par décroître en valeur absolue en dessous de tout nombre positif donné e si petit (ju'il soit. Ou dit alors ([xw \ a i)Our limite a et l'on écrit

lim X = a.

Suivant cette définition, une même variable ne peut pas tendre simultanément vers deux limites différentes a et b {b > a), car (a* — a) et {x — /)) ne peuvent être simultanément inférieurs en valeur absolue à la moitié de (/> — a).

Si les valeurs de .y finissent par surpasser définitivement tout nombre assignable, on dit, par extension, que .y a une limite infinie et tend vers -\- x.

De même, si .v décroit définitivement en dessous de tout nombre négatif assignable, on dira que a- a pour limite — co.

15. Plus grande et plus petite limite. — Considérons encore une variable a qui passe successivement par une infinité de valeurs finies. Si a est bornée supérieurement, il y a des nombres auxquels a finit par rester définitivement inférieur. Si ceux-ci ont une borne inférieure A, on l'appelle la i>lus grande limite de X : et on écrit

lim A -= A.

De même, si a est bornée inférieurement, il y a des nombres auxquels .y finit par rester définitivement supérieur. Si ceux-ci

ont une borne supérieure a, on ra})])(^lle I;\ plus petite limite rie x et l'on écrit

lini .V = a.

Les plus grande et plus petite limites s'appellent aussi les limites d' indétermination de .v.

Si la variable x est bornée supérieurement et inférieurement, ces deux limites existeront toujours et seront comprises entre les bornes supérieure et inférieure de x, la coïncidence avec ces bornes étant également possible.

La plus grande limite A est donc définie par cette propriété que, quelque petit que soit le nombre positif e, la variable afinit par rester < A + e, tandis qu'elle n'est jamais définitivement < A — e. — Pareillement, la plus petite limite a est définie par cette propriété que la variable x finit par rester > a — e, tandis qu'elle n'est jamais définitivement > a -j- e. D'après cela, A est supérieur ou égal à a.

Si les deux limites a et A sont différentes, on peut prendre e assez petit pour que A — e soit encore > a -\- z ; dans ce cas, X oscille indéfiniment dans tout l'intervalle de a -|- e à A — e et en sort : .v ne peut avoir de limite déterminée. Au contraire, si A == a, A' finit par rester dans un intervalle (a — e, a + e) aussi resserré qu'on le voudra et a a pour limite a. De là, le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une variable x ait une limite finie et déterminée est (juelle soit bornée et que l'on ait

lim A = lim x.

Lorsque a n'est pas borné supérieurement, on dit, par extension, que sa plus grande limite est -[- oo ; si a n'est pas borné inférieurement, on dit encore que sa plus petite limite est — oo.

Si la variable a a une limite infinie, soit + oo soit — oo, on dit encore que les plus grande et plus petite limites coïnc dent et sont égales à cette limite infinie.

Avec cette extension, la relation

lim A = lim a

exprime la condition nécessaire et suffisante pour (/ne x ait une limite (finie ou infinie).

THÉORIE DES LIMITES l3

16. Critère de converg-ence (Cauchy). — La condition nécessaire el sii/fisante pour (jaune variable x qui passe par une succession illimitée de valeurs, ait une limite finie et déterminée est que, à tout nombre positif si petit qu'il soit z, corresponde au moins une valeur de x qui diffère de moins de e de toutes les suivantes.

Il est clair que, dans ce cas, la variable .v est bornée et je dis que ses plus grande et plus petite limites A et a ne peuvent différer.

Sinon, en effet, on pourrait choisir un nombre positif e' assez petit pour que a -f e' fût encore < A — e', la variable x oscillerait indéfiniment d'un de ces deux nombres à l'autre (même en les dépassant), aucune valeur de x ne pourrait donc différer de toutes les suivantes d'une quantité inférieure à la moitié de cet intervalle, ni, pai- suite, inférieure à e (si e est supposé moindre que cette moitié).

La condition est doue suffisante. Il est évident qu'elle est nécessaire, car, si les valeurs de a- se rapprochent indéfiniment d'un nombre a, elles finissent par différer aussi peu qu'on veut les unes des autres. Le théorème est démontré.

Le critère de convergence est plus simple si la variable .v est monotone, c'est-à-dire si elle est : soit constamment croissante (ou stationnaire), soit constamment décroissante (ou stationnaire). On l'énonce comme il suit :

Si la variable x varie toujours dans le même sens (est monotone), la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle ait une limite finie est qu'elle soit bornée.

En effet, si la variable est croissante, elle tendra vers sa borne supérieure A, car elle ne peut surpasser A, tandis qu'elle surpasse définitivement tout nombre moindre. De même, si elle décroit, elle a sa borne inférieure pour limite.

On énonce souvent cette règle en disant qu' zme variable qui varie toujours dans le même sens a une limite finie ou infinie.

Les critères de convergence sont généraux et s'appliquent quel que soit le mode de variation de a-.

Ces modes sont très variés. Tantôt x tendra vers sa limite d'une manière continue en passant par toutes les valeurs intermédiaires, tantôt d'une manière discontinue en i)assant par une

suite illimitée de valeurs isolées. Dans ce dernier cas, il arrive le plus souvent que les valeurs successives de .y peuvent être toutes numérotées dans l'ordre de leur succession :

Tel est le cas pour les sommes successives des termes d'une série, les réduites successives d'une fraction continue, etc.. Le critère de Caucliy peut alors s'énoncer comme il suit :

La condition nécessaire et suffisante pour que la suite .v,. .y.,. A3,... Xn,--. ait une limite finie et déterminée est (ju'à Unit nombre positif t si pciii (ju'il soit. covres])onde un indice n Ici (juc la condition

I Xn+p ^n I *^ S

ait lieu pour tous les indices n -\- p supérieurs à n.

17. Limite d'une fonction. — Quand les valeurs d'une variable y sont déterminées par celles que reçoit une autre varial)lç .v, on dit que v est une fonction de a.

11 peut alors se faire que, quand ou donne à a une suite de valeurs ayant pour limite a (la valeur a elle-même étant généralement exclue), la suite des valeurs correspondantes de y ait pour limite b. On écrit alors

lim y =- /).

La condition nécessaire et suffisante pour (jue y ail une limite finie b quand a tend vers a est donc (ju'à tout nombre positif z corresponde un nombre })ositifo, tel <jue l'inégalité | a — a | < 0 entraine \ y — b \ < t.

Si l'on observe qu'une valeur de v suffisamment éloignée dans la suite correspond à une valeur de .y suffisamment voisine de a. on voit que le critère de convergence de Caucliy pi-end la forme suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour (jue y ait une limite finie quand x tend vers a est qu'à tout nombre positif s corresponde un nond^re positif 0 tel (jue, à deux valeurs de x <jui diffèrent de a de moins de 0. correspondent deux valeurs de y 7a/ différent entre elles de moins de e.

11 est important de remarquer (]ue y peut a\ oir une limile

THÉORIE DES LIMITES l5

quand on fait tendre .v vers a par une suite de valeurs soumises à certaines restrictions, par exemple toutes > a, ou toutes rationnelles, etc. Ce sont alors ces valeurs seulement que l'on doit considérer dans la condition de convergence. On représente souvent par

lim V. lim y,

les limites de y quand a," tend vers a en restant soit > a, soit < a.

Si y a une plus grande ou une plus petite limite quand .v tend vers a, on pourra aussi les représenter par

lim V ou lim y.

Si V a une limite b quand a- tend vers T'infini, c'est à dire si v* diffère aussi peu qu'on veut de b à condition que a- soit suffisamment grand, les notations sei'ont analogues aux précédentes en faisant a = x.

Ces considérations s'étendent aux fonctions de plusieurs variables. Si la valeur de u dépend des valeurs de x, y,... on dira que u a pour limite m quand x, y,... tendent respectivement vers a, b,... d'une manière quelconque, si à tout s positif coi-respond un o positif tel que la différence | a — m \ soit < e sous la condition que | x — a | , | y — b \ ,... soient < S.

Il est souvent utile d'observer que, si u et n dépendent des mêmes variables, on a évidemment

lim {u -\- v) <C lim a + lim v.

Cette relation est susceptible d'un grand nombre de formes équivalentes, en vertu de l'identité

lim II -^ — lim ( — a).

En changeant d'abord le signe de v, ensuite u en ii -\- u, on a

lim (u — v) ^ lim u — lim v,

lim {u j- u) > lim u + lim v,

lim {u — y) > lim u — lim v

et, en changeant les signes des deux membres, puis ceux de u, u,

Uni {u — w) > lim u — lim v lim (« + y) ^ lim u -\- lim u, etc.

l6 INTRODUCTION

Toutes ces relations s'aper(;oiveiit d'ailleurs directement comme la première.

18. Principes de la théorie des limites. — 1. Lu limite franc somme, d'une différence, d'un j)rodiiit de variables qui tendent vers des limites finies et déterminées, est égale à la somme, à lu différence, au produit de ces limites. La limite d'un quotient de variables qui tendent vers des limites finies et déterminées, est égale au quotient de ces limites, pourvu que la limite du dénominateur soit différente de zéro.

Ces propositions se démontrent toutes de la même façon, choisissons la dernière comme exemple. Soient deux variables x et y ayant respectiveinent pour limites a et b ; on pourra poser

y. et jS ayant 2)onr limite zéro. On en tire

.V a a -\~ OL a oib — fia

y~b^b~+^~b^F{V+fy

si b est différent de zéro, cette dernière quantité peut être

rendue aussi petite que l'on veut avec a et [i, donc" a pour li-

., a mite r • b

De la combinaison des propositions précédentes, on déduit le théorème suivant :

II. Soit K(a', y,...) une expression rationnelle (juelconque des variables x, y,..., c'est-à-dire une expression dont le calcul ne comporte que les quatre o})érations fondamentales, si les variables X, y... ont respectivement pour limites a, b,.... R {x, y...) aura pour limite R (a, b,...).

Ce théorème est soumis toutefois à cette restriction (juc. si parmi les opérations à effectuer sur les nombres a, /;,... figure une division, le diviseur ne soit pas nul.

III. Si deux variables restent constamment égales et si l'une tend vers une limite déterminée, finie ou infinie, l'autre tend vers la même limite.

En effet, si u a pour limite a, u — a décroît indéfiniment ; si u = V, V — a = u — a décroît aussi indéfiniment et v a aussi pour limite a. La démonsti-ation est analogue si la limite est infinie.