VI. On a trouvé

D arc tg X = — ; ; donc D" arc tg x = D*^"^ — , ^ •

Mais on a, en introduisant les imaginaires,

I + X' ^ > ^"^ '^ • 2/ L (a: — 0" {x + iy J

On se débarrasse des imaginaires en posant

A* — i == p (cos cp — i sin 9)1'^

' ^ f i ' f m -^ Q.rn POT, .'

arc cot X ; il vient, par la formule de Moivre,

I cos n (p 4- i sin /i œ i cos n cp — tsinntp

{x — i)» ^ p^ ' {x-\- ly^^ y^

I06 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE

Par conséquent,

' ,)n-ii^TA'

D"-i -— ^ (— i)«-i ^ — — -^ sin n cp,

D"arc tg .V = ( — i)" ^ ^^ ~ sin (n arc cot x).

Remarque. — Le calcul des dérivées n^étnes pg^^t être rattaché à la formule de Taylor. On en trouvera des exemples dans le chapitre suivant.

120. Dérivée /i^^"^*^ d'un produit. Formule de Leibniz. — Soit iw le produit de deux fonctions de a- ; on a

T>.iw ^ V Du + u Dv.

Dérivons ; il vient, par la régie précédente,

T>Hw = vBhi + 2 Du.Bv + « D^y.

Chaque terme de ces deux premières dérivées et aussi des suivantes, est le produit d'une dérivée de u par une dérivée de y, en regardant u et v eux-mêmes comme des dérivées d'ordre 0.

Mais, dans la dérivée première TJnv, la somme des indices de dérivation est égale à i dans chaque terme ; dans la dérivée seconde, elle est égale à 2 ; on voit de suite qu'elle sera égale à II dans la dérivée n'éme^ q^^ pgu^. donc poser

(1) D'* uv = Ao w 13" y + A, ï)u D^-^y f Ag D^m D^-^y -j ,

les lettres A désignent des coefficients numériques à déterminer. Faisons, pour cela, a étant une constante,

u = e-'^, y =3 e"^, d'où uv •- e(*+°')^, D«uy = (i +a)'V(»+^'^,

Substituons ces valeurs dans l'équation (1) ; elle devient, après suppression du facteur commun e('+^)^,

(i-f-a)'^==Ao + A,a + A2a2 4

Donc, a étant une indéterminée, les coefficients Aq, A., Ag,... sont ceux du binôme. On peut ainsi donner à l'équation (1) la forme symbolique suivante :

D'»«y =-- {I)u + Dy)".

DERIVEES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES I07

Mais on convient d'observer les conditions suivantes dans le développement du second membre : 1° on écrira Du et Du dans tous les termes, même dans les termes extrêmes où l'un d'eux reçoit l'exposant 0 ; 2" on remplacera ensuite Dn^par D^ii, I)f;'ï par lY' u et enfin, D^h par 11 et D°v par v.

121. Propriétés des dérivées d'une fonction rationnelle. — Soit z une variable complexe ; une fonction rationnelle de c

est le quotient de deux polynômes P et Q sans racine commune. Soit a une racine de degré m de P, nous disons (|ue c'est une racine de degré m de f{z). Nous avons alors

f{z)^{z-ayn^{z),

et cp (c) est une fonction rationnelle, /z/n'e et non nulle pour z = a. Dérivons ; il vient

/■' {z) = {z- ayn-^[ni'f{z) 4- {z - a) o'{z)].

La quantité entre crochets est une fraction rationnelle qui ne s'annule plus pour z = a ; d'où le théorème suivant :

I. Toute racine de degré m d'une fonction rationnelle f'{z) est une racine de degré {m — i) de sa dérivée ; en particulier, une racine simple de f{z) ne sera plus racine de sa dérivée.

Si l'on applique ce théorème, de proche en proche, aux dérivées successives de /"(;), on est conduit au suivant :

II. Toute racine de degré m de f{z) est commune à f{z) et à ses m — I premières dérivées. Réciproquement, toute racine commune à f{z) et à ses (m — i) premières dérivées et qui n'annule pas la dérivée d'ordre m, est une racine de degré m de f{z).

Ces théorèmes jouent un rôle important en algèbre, dans le cas particulier où f{z) se réduit à un polynôme.