CHAPITRE IT

Formule de Taylor. Applications diverses.

§ 1. Formules de Taylor et de Maclaurin.

122. Formule de Taylor. — Soit f{x) une fonction continue et univoque d'une variable réelle a.'. La formule de Taylor a pour objet de développer f{a + h) suivant les puissances successives de h jusqu'à un certain ordre. Pour l'ordre n, cette formule est la suivante :

( fia + h) = fia) 4- ^^ fia) + ^^ f"{a) +...

V^) i /,n-i hn

Il faut supposer les dérivées de /"(a:) finies et déterminées au point a jusqu'à l'ordre n — i, alors cette formule définit la quantité M en fonction de h supposé différent de 0.

Le plus souvent h peut avoir un signe quelconque dans la formule (1) et les dérivées successives de fix) sont supposées uniques au point a. Mais, si h est exclusivement positif, la formule ne suppose que l'existence des dérivées successives à droite au point a, et il doit être entendu que /'(a), fia),... sont alors des dérivées à droite. Ce seraient, par contre, des dérivées à gauche si h était exclusivement négatif.

Le développement de Taylor se caractérise par la propriété suivante, dont l'énoncé se précise en tenant compte de l'observation précédente.

Théorème. — Quand h positif tend vers 0, la quantité M tend vers la dérivée à droite f'^^'ia), finie ou infinie, mais supposée existante.