FORMULE DE TAYLOR I

jo gj f{n)(^a) est finie, soit s un nombre positif et formons la fonction de h :

<p(/z) = fia) + A /-'(a) + ... + ^^[f-ia) + e] - f{a + h).

Cette fonction et ses n — i premières dérivées (à droite) sont nulles au point h =- 0, tandis que l'on a, pour sa dérivée n.^'^n^^ (à droite), (^("'(0) = s > 0. Donc, pour h positif et suffisamment petit, (p('*-0(A) est > j,("-')(0) et, par conséquent, positif ; auquel cas (p("~2'(A), étant croissant, est positif aussi, et ainsi de suite de proche en proche jusque (p(/î) > 0. Au contraire, tout cela devient négatif si l'on remplace e par — e. D'où il suit que, pour h positif assez petit, /"(a -t- h) est compris entre les deux expressions :

fm-...-+r

Aa) + 4-/» + ... 4- ;rf [/■'"'(«)

et par suite, M est compris entre f^^\a) ± e. Donc, e étant aussi petit qu'on veut, M a pour limite / '"'(a) quand h positif tend vers 0.

2° Si f"\a) = — ce, soit A un nombre négatif arbitraire et formons la fonction :

cp(/7) - fia) + A f» -^- - + 1^ ^^ - /■(« + ^0.

Nous aurons encore cp'"^(0) -= A — /"<" (a) > 0, de sorte que les dérivées d'ordre moindre et (^(/î) lui-même sont de nouveaux positifs pour h positif et suffisamment petit, auquel cas M est < A. Donc M devenant inférieur à tout nombre assignable quand h positif tend vers 0, M tend vers — oo. De même, M tendrait vers + oo si telle était la valeur de la dérivée à droite /■''^'(a), ce cas se ramenant d'ailleurs au précédent par le simple changement de signe de /"(a-).

Si l'on remplace h par — h dans la formule (1), le théorème précédent est évidemment remplacé par le suivant :

Quand h négatif tend vers 0, la quantité M tend vers la dérivée à gauche r^\a), finie ou infinie, mais supposée existante.

Unicité du développement. — Quand f^'^a) est finie, la formule de Taylor exprime /"(a -{-h) par un développement

Ao + Al /i + A^h" + - -h An i /i"-i + M/ï",

OÙ les A sont des constantes par rapport à h et où M est borné quand h tend vers 0.

Un tel développement n'est possible que d'une seule manière, donc par la formule de Taylor.

Supposons, en effet, qu'il y en ait deux :

Ao + A, A 4 - + M/î« = ao + aj/i + - + mlV^ .

Xous allons montrer qu'ils sont identiques termes pour termes.

Faisant tendre h vers 0 et observant que M et m sont bornés, il vient d'abord Ao = ao. Supprimant ces termes, divisant par h et faisant encore tendre h vers 0, il vient Aj = aj, etc.

123. Reste de la formule de Taylor. — Le dernier terme de la formule (1), lequel en a n avant lui, s'apx^elle le terme complémentaire ou le reste de la formule et il se désigne par R» . La formule (1) devient ainsi

(2) fia + /z) = fia) + A /"(a) + ... + J^ /•(n--')(a) -f Rn

et nous avons une première expression de Rn

Nous savons seulement que M tend vers /"("K^) qnand h tend vers 0, et ceci ne suppose aucune autre condition que la seule existence de /"(")(a). Mais cette première expression ne nous donne aucun renseignement sur la grandeur de E,„ pour les valeurs finies de h. Il y a donc lieu de chercher de nouvelles expressions de R„ , capables de rendre ce service.

Il faut, pour cela, inti'oduire de nouvelles conditions plus restrictives. Xous supposerons que f('^~%x) est continue dans l'intervalle de a à a -{- h (limites comprises) et que /"(")(.v) est seulement déterminée dans cet intervalle (limites exclues).

Avec ces conditions, on peut, comme nous allons le démontrer, donner à Rn l'expression suivante, connue sous le nom de reste de Schlômilch :

/in /y GV^— ^