FORMULE DE TAYLOR

Dans celle-ci, p est uu nombre positif arbitraire mais < n, et G uu nombre compris entre 0 et i.

Pour établir cette formule, on définit un nombre P par la condition

où R„ est défini par l'équation (2). On fait a -\- h = b et l'on considère la fonction de a* :

f{x) + ^^ f'ix) f ... + ^^Ç /-("-K.^-) + (^ - A-)^^P.

Celle-ci (qui est continue) prend la môme valeur f{b) ou /■(a + h) pour x =- a et .v = b. Donc sa dérivée (qui est existante) :

^-j^^f^"K^>^-)-p{b-x)PV,

s'annule au point intermédiaire ç = a + Hh, en vertu du théorème de Rolle. De là, la valeur de P :

qui substituée dans /j?' P, fournit la valeur (3) de Rn . On considère surtout deux cas particuliers : Si p ■-= n, on obtient le reste de Lagrange :

Si p =- I, on obtient le reste de Caiichy :

Lorsque f{x) est indéfiniment dérivable, on peut se donner n à volonté et, par conséquent, reculer Rn aussi loin qu'on veut. Lorsque ce terme peut être rendu suffisamment petit à condition de prendre n assez grand, la formule de Taylor donne un procédé commode pour évaluer approximativement les fonctions. Nous allons en voir des exemples un peu plus loin comme applications de la formule de Maclaurin.

Lorsque le terme complémentaire tend vers zéro quand n tend vers l'infini, on peut prolonger la formule indéfiniment ; le dernier terme disparaissant à la limite, on obtient l'expression de /'(a |- h) en série convergente. La question du dévelop-

pement des fonctions en série illimitée de Taylor est d'une extrême importance, mais nous ne possédons pas encore les ressources analytiques nécessaires pour la traiter commodément. Nous y reviendrons, à la fin du volume, quand nous aurons exposé la théorie des séries.

124. Expressions diverses de la formule de Taylor. — i° On peut remplacer dans la formule (2) la variable h par .y — a ; l'équation devient ainsi, en écrivant le reste de Lagrange,

Cette formule suppose f('^~%x) continue de a k x et f(*^){x) déterminée entre a et x seulement.

2° On peut aussi remplacer a par x dans la formule (2), puis faire passer /"(:\;) dans le premier membre. On trouve, avec le reste de Lagrange,

fix -h h) - f{x) = ^ f'{x)+ ... 4- ^~ /'(«-'KaO+I)-^ mx + Hh).

Supposons qu'on prenne dx — h ; les termes successifs du second membre ne différeront que par les factorielles des différentielles successives de f{x). Quant au premier membre, c'est l'accroissement A/'(.\') qui correspond à l'accroissement arbitraire dx de la variable .v. La formule précédente peut donc s'écrire comme il suit :

Seulement, dans le dernier terme, on doit remplacer, ainsi que la notation l'indique, la variable x par .v -\- Oc/a:. La formule (5) donne l'expression la plus condensée du développement de Taylor et, comme on le verra, la plus générale.

125. Formule de Maclaurin. — C'est un cas particulier de celle de Taylor. On pose a = 0 et A = .v dans la formule (2) ; il vient

nx) =^ /-(o)-!- ^^ /-'(o) + ^ f"{o) -f ... + -^ f(-m + Rn .

FORMULE DE TAYLOR Il3

Le reste Rn peut recevoir la forme de Schliimilch : ou les formes particulières de Lagrange et de Caiichy :

Cette formule suppose /■("-O(a-) continue de 0 à a: et f("^{x) déterminée entre 0 et 5C. Le nombre 0 est compris entre 0 et i.

Lorsque les dérivées de f{x) sont déterminées et continues jusqu'à un ordre quelconque, il arrive souvent que le dernier terme, qui est seul inconnu, peut être rendu aussi petit qu'on veut en donnant à n une valeur assez grande. Dans ce cas, la formule de Maclaurin fournit un procédé d'évaluation commode de la fonction f{x). Nous allons en montrer des exemples.

126. Application de la formule de Maclaurin à quelques fonctions simples. — I. Exponentielle e^. Faisons ('{x) = e^ dans la formule de Maclaurin ; les dérivées reproduisant la fonction, /■(ft)(0) = I et nous obtenons, avec le reste de Lagrange,

Quel que soit x, ce reste tend vers 0 quand n tend vers l'infini, car .v" : ;i! a pour limite 0, en vertu de l'inégalité (*) n! > (\//i)" , qui montre que la factorielle n\ croît infiniment plus vite que la puissance a;" .

Pour a; =- I, on trouve la formule propre au calcul de e :

Le dernier terme est < 3 : n ! (puisque e est < 3) et devient aussi petit que l'on veut, à condition de prendre n assez grand.

(*) Multiplions entre elles, facteur par facteur, les deux factorielies n I où les facteurs seront rangés dans l'ordre inverse ; (/i!)2 sera le produit de n facteurs de la forme

p{n —p-}-i)^n—2)-{-li ■-= n

Donc (n!)2 est > n» .

Il4 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

Donc la formule ])ermet de calculer le nombre e au degré d'approximation que l'on désire.

Remarque. — On tire de la formule précédente, en multipliant ses deux membres par (n — i) !,

{n — i) ! e = nombre entier H .

Cette relation prouve que e est irrationnel, car, si e était rationnel, il serait le quotient p : q de deux entiers et le premier membre de la relation serait entier pour n > q, tandis que le second est fractionnaire pour n > 3 (donc a fortiori > e*^).

II. Exponentielle A*". En cliangeant .v en a- Log A dans la formule précédente, on a

A. ..LogA . , :VLogA (A-LogA)»-^ (A-LogA)^ 9^

"^ I "^"^ {n — i)l ^ ni "^ •