IV. Fonction cos a. Si /"(a) = cos a, on a (n

. /■00(A) = COs(^A + /l^).

Pour A = 0, les valeurs de /"(a) et de ses dérivées successives forment la suite périodique à quatre termes : i, 0, — i, 0, etc. Prenons donc n ^ 2 k dans la formule de Maclauriu, et faisons la substitution

FORMULE DE ÏAYLOR

il vient, avec le reste de Lagrauge,

co--i-f;+|--+(-i)«-i£:^+(-ir(|syr<=os9...

Le reste a pour limite 0 quand A" augmente indéfiniment,

V. Fonction Log [i -\- x). Prenant f{x) =^ Log (i -|- .v), on a (il" 119)

Par la formule de Lagrange,

et, j)ar celle de Caucliy,

Ces formules supposent toutefois a' > — i, sinon les dérivées cesseraient d'être déterminées dans l'intervalle (a*, 0) et la formule de ^laclaurin ne serait plus applicable. 8i a- est positif et ^ I, la formule de Lagrange montre que [ Rn | est < i : 11 ; si X est négatif mais qu'on ait a' > — r > — i, la formule de Caucliy montre que | R„ | est < /•" : (i — r). Donc, dans ces deux cas, lin peut être rendu aussi petit qu'on veut en prenant n assez grand, et le développement peut servir à calculer la fonction.

VI. Fonction (i + A')^'^ Formule du binôme. On a, dans ce cas, /•(h)(a-) = m (m — i) - {m — ;î + i) (i + a:)'"-" ;

il vient donc

in(m — i) ., m(m — i) (m — 2) ,. ,

(I + X)- = I + mx + -4:^'^ + "^ — rx3 — "" + -

Par la formule de Lagrange,

R,^ ^"^^" ~ ^^ ••• (^" - " + ^\v»(i 4- Ôa;)'"-» et, par celle de Caucliy,

Il6 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATION.S