FORMULE DE TAYLOR

M désignant une fraction rationnelle finie pour z = a (n° 121). Il vient ainsi

(6) A~-)-/'(a)+^r(a)+- i-7^^/"^"-^Ka)-f^^M

et la formule de Taylor se trouve étendue au cas où la variable est complexe.

De plus, pour z = a, on a encore lim M = /'(")(a), car, en comparant la formule (6) avec la formule analogue pour l'ordre n A- I, où Mi sera l'analogue de M, on a

Remarques. — 1° Dans la formule (6), le dénominateur de la fraction M est le même que celui de f{z), car il n'y a pas d'autre terme fractionnaire dans la formule.

2*') Si f{z) ou, plus généralement, si f{z) : {z — a)" est une fraction proprement dite, M est aussi une fraction proprement dite. En effet, divisons tous les termes de la formule (6) par (s — a)" ; M sera égal à une somme de termes qai ont pour limite zéro et aura lai-même pour limite zéro pour 2 = co, ce qui ne peut avoir lieu que si M est une fraction proprement dite.

3°) Le développement de f{z) suivant les puissances de {z — a) ne peut se faire que par la formule (6), moyennant la condition relative à M, car la démonstration faite au n° 122 s'applique aussi bien au cas actuel.

128. Emploi de la méthode des coefficients indéterminés. Développement d'une fonction de fonction. — Dans bien des cas, on se propose seulement de connaître la loi de formation des termes successifs de la formule de Taylor et l'on ne s'inquiète pas de l'expression du dernier terme. Le théorème du n*^ 122 qui établit l'unicité du développement permet alors de se servir avec avantage de la méthode des coefficients indéterminés. Proposons-nous, par exemple, de trouver le développement d'une fonction de fonction.

Soit II = f{x), puis F(u) une fonction composée de .v ; supposons connus les développements :

t{x + h) - f{x) ^ a, h + a, h' + ... + an-i /i"-' + m A" ;

Il8 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

nous allons en déduire celui de F (ii -{- k) suivant les puissances de h dans l'iiypotlièse où A* -= f{x -\- h) — f{x). Pour cela, remplaçons, dans le premier développement, k par sa valeur tirée du second, il vient

F [/"(.v + h)] - F [f{x)] = A, {a,h + a,A^ + .,.) 4 Ao {a,h -u aJi' -f ...y ^A,{ah + aJi'^ + ...y

Il suffit d'ordonner par rapport aux puissances de h jusqu'à la (n — i)iènie pour obtenir le résultat demandé. Le dernier terme est un polynôme en M et m qui ne présente aucun intérêt particulier.

129. Détermination des dérivées n''''"^^ Dérivée niéme d'une fonction de fonction, — Le dévelopi^ement de /(.v 4- h) suivant les puissances de h et le calcul de f^%y:) sont deux problèmes équivalents. En effet, cette dérivée s'obtient comme coefficient de 7i" : n! dans ce développement.

Comme exemple, appliquons le calcul du numéro précédent à la détermination de la déi-ivée iiiéme d'one fonction de fonction F(u), u étant égal à /'(.v).

Le coefficient de h" dans le second membre de la formule qui termine le numéro précédent, -peuX se mettre sous la forme

S Ak^h> h=i

en désignant par §fi le coefficient de /i'* dans l'expression {a,h+a,h-^ + ...)'^.

La quantité ^/j se calculera donc par la formule suivante :

- - ^'-^{af {aj' (a,)'...,

a: jj!

dans laquelle la sommation s'étend à toutes les décompositions de k en une somme d'entiers positifs

a 4- ;i + Y -f - - k, satisfaisant, en même temps, à la condition a + -3 + 3y + ... ^ n.