THEORIE DES LIMITES

IV. Une quantité variable qui reste constamment comprise entre deux autres qui ont la même limite finie ou infinie, tend aussi vers la même limite.

En effet, si w est compris entre deux variables u et v qui tendent vers a fini, w — a sera compris entre u — a et y — a qui décroissent indéfiniment et décroîtra lui-même indéfiniment. Donc w a pour limite a. Le raisonnement est analogue si la limite est infinie.

19. Méthode des limites. — Lorsqu'on a obtenu une relation entre des variables qui subsiste pour une infinité de valeurs des variables, on peut, en s'appuyant sur les principes précédents, y remplacer les variables par leurs limites. Cette opération porte le nom de passage à la limite. Cette nouvelle opération qui s'ajoute aux quatre opérations fondamentales de l'arithmétique, caractérise Vanalyse infinitésimale.

La méthode des limites consiste à trouver des relations entre les quantités par passage à la limite.

La méthode des limites se décompose en plusieurs branches suivant la nature des variables que l'on considère dans ce passage à la limite (séries, i^roduits infinis, fractions continues, calcul différentiel, calcul intégral).

20. Méthode infinitésimale. — Lorsqu'une quantité variable a pour limite zéro, on dit que c'est une quantité infiniment petite ou un infiniment petit. Au contraire, une quantité infiniment grande est une quantité variable qui augmente au-delà de toute limite assignable.

La méthode infinitésimale est celle où l'on se sert de la considération des infiniment petits. Dans le calcul différentiel, on considère les quantités comme limites du rapport de deux infiniment petits. Dans le calcul intégral, on les considère comme limites d'une somme d'un nombre indéfiniment croissant d'infiniment petits.

Dans les questions où on les considère, on établit le plus souvent, entre les divers infiniment petits que l'on rencontre, une classification très importante, qui s'appuie sur les définitions suivantes :

On dit qu'une quantité a est infiniment petite par rapport à une

l8 INTRODUCTION

autre ,3, lorsque le rapport ^ a pour limite 0. Au contraii-e, les deux inliniment petits sont du même ordre si leur rapport a une limite finie et différente de zéro.

Dans beaucoup de questions, on est amené à choisir un infiniment petit particulier a, que l'on appelle infiniment petit ])rinci})al, et qui sert à classer tous les autres. Un infiniment petit du même ordre que a s'appelle alors du premier ordre et un infiniment petit de l'ordre de a'' est de l'ordre r.

Lorsqu'une quantité est décomposée en une somme de termes qui sont des infiniment petits d'ordres différents, on donae le nom de terme principal à celui qui est de l'ordre le moins élevé.

On appelle expression asymptotique d'une quantité une expression qui n'en diffère que par un infiniment petit d'un ordre assigné.

21. Principes de substitution des infiniment petits. — Les avantages de la méthode infinitésimale résultent des deux principes fondamentaux connus sous ce nom.

I. La limite du rapport de deux infiniment petits o. et ^ n'est pas chan^'ée quand on leur substitue respectivement deux autres infiniment petits a' et [55', pourvu que — j-ef L aient pour limite F unité.

En effet, de l'identité

on conclut, par les principes de la méthode des limites,

lim ~rrr = lim ^ lim — lim -—- ^= lim ^ .

La remarque suivante sert souvent à reconnaître que le rapport de deux infiniment petits tend vers l'unité :

Si [3 reste compris entre deux infiniment petits a et a' dont le rapport tend vers l'unité, il en sera de même des rapports (B : a et [i : a'.

En effet, en divisant les inégalités a > (51 > a'

par a supposé positif, il vient