Dérivée n'^""" de

/( — j. — Méthode analogue. Soit— =2^; on obtient

la dérivée demandée au moyen de celle de e^ . Il faut supprimer dans

celle-ci (Exercice 3) le facteur «^' et remplacer les puissances successives de a par les dérivées successives de/(«).

6. Dérivée w'^'"" de/(Log x). — Soit u = Log x ; si la lettre D désigne des dérivées par rapport à m et si l'on convient d'effectuer les multiplications algébriquement, on a la formule symbolique :

D» /(Log.r) = D(D-.)...(D-«+.)/W^ En effet, on a d'abord (no 129)

VRAIES VALEUÉS

(1) D«/(Log-r)-SP^/(^)(«).

Faisant, en particulier, /(2<) = tf'^" , ce qui ne change pas P^ ,

(2) D" e« Log a? = Vp^ ^/c gau ,

Mais on a, d'autre part,

gau

Le second nombre de (i) se déduit de celui de (2), en supprimant le facteur ^^" et en remplaçant a'' par D^/(m). Si, au lieu de faire ce changement dans (2), on le fait dans (3), on obtient la formule à démontrer.

§ 2. Vraies valeurs des expressions indéterminées.

130. Définition. — Soit f{x) une fonction de variable réelle qui devient indéterminée pour .v =■ a ; ou nomme vraie valeur de cette expression pour .v = a la limite vers laquelle elle tend quand x tend vers a. On devra d'ailleurs si)écifier dans la définition si A* tend vers a d'une manière quelconque, ou bien seulement par des valeurs > a, ou bien par des valeurs < a.

Ainsi, par exemple, la vraie valeur de sin x : x pour x = 0 est I, et .v tend alors vers 0 d'une manière quelconque. La vraie valeur de xluog x pour a- = 0 est 0, mais alors a: tend vers 0 en restant positif (la fonction n'existant plus pour a: négatif).

La définition de la vraie valeur s'applique aussi aux fonctions rationnelles d'une variable complexe. Mais, sauf le cas particulier qui va être indiqué, nous supposerons dans tout ce qui suit que la variable est réelle.