Forme-. — Cette forme se rencontre quand les deux

termes d'une fraction f{x) : F (x) sont des fonctions continues qui s'annulent simultanément pour a = a. La vraie valeur se détermine par l'application d'une règle importante, connue sous le nom de règle de l'Hospital (*), et qui consiste à substituer au

(*) Le Marquis de l'Hospital n'a énoncé cette règle que sous forme géométrique et dans le cas le plus simple et il l'avait empruntée à Jean BernouUi.

rapport des fonctions celui de leurs dérivées. Mais cette règle peut être présentée sous deux formes différentes ; la première est plus simple, mais la seconde se prête à des extensions que ne permet pas la première.

Première règle. — Si les deux fonctions f{x) et F (x) s'annulent au point a ainsi que toutes leurs dérivées successives jusqu'à l'ordre n — i, si, de plus, les dérivées d'ordre n existent au point a mais n'y sont ni toutes deux nulles ni toutes deux infinies, la vraie valeur (finie ou infinie) de f\x) : F(a') au point a sera f(^^a) : F('')(a), c'est-à-dire que

limiM-.PM i^SÎFGr) F(")(ay

Cette règle résulte de la formule de Taylor et s'applique, pa^r suite, aussi aux fonctions rationnelles d'une variable complexe.

Si l'on pose x --= a -}- h et qu'on développe f{a + A) et F(a + A) jusqu'à l'ordre n, les développements (n° 122) se réduisent à

où M et M' ont respectivement pour limites les dérivées /'(")(a) et F (»)(a) supposées existantes quand h tend vers 0. Il s'ensuit

f{a±hl M^in^

nF(a + A) M' F('0(a)-

Dans le cas des variables réelles, la formule précédente conserve un sens, même si les dérivées d'ordre n sont différentes à droite et à gauche. Elle demeure vraie pour les dérivées à droite si h est positif, et pour les dérivées à gauche si h est négatif.

Cette règle ne suppose aucune autre condition que celles contenues dans son énoncé. Mais elle suppose a fini et ne s'étend pas au cas où a --=■ 00. D'autre part, si F (*^)(a) = 0, elle montre que la vraie valeur est infinie, mais le signe reste inconnu. Enfin elle ne donne rien si les dérivées n'existent pas au point a.

La seconde règle exige des conditions plus délicates et s'appuie sur la formule de Cauchy (n° 108).

Vraies valeurs 128

Deuxième règle. — Si /'(.v) et F(a'), nuls au point a, ont des dérivées f'{x) et F'(.v) dans le voisinage du point a, la vraie valeur de f{x):V{x) au point a sera la limite du quotient f'{x) : F'{x) pour x = a, pourvu que cette limite soit déterminée.

En particulier, si f'{a) : F '(a) est encore de la forme 0 : 0, la vraie valeur de /(.v) : F(.v) sera la même que celle de f'{x) : F'{x) supposée déterminée.

Cette règle subsiste quand on considère seulement les valeurs de X qui sont > a, ou bien celles qui sont < a.

Cette seconde règle est plus utile que la première, parce qu'elle laisse libre le choix du procédé à suivre pour trouver la limite du quotient des dérivées : suppression de facteurs communs, emploi de la première règle, application répétée de la seconde, etc.

Elle résulte immédiatement de la formule de Cauchy (n° 108), qui, f{a) et F(a) étant nuls, se réduit à

et il suffit d'observer que O/7 est une même quantité dans les deux termes de la fraction, qu'elle a le signe de h et qu'elle tend vers 0 avec lui.

Mais cette règle est soumise aux mêmes conditions que la formule de Cauchy : 1° Les dérivées doivent être déterminées et finies au voisinage du point a (celui-ci pouvant faire exception) ; 2° le quotient f'{x) : F'{x) ne prend, quand x tend vers a, qu'un nombre limité de fois la forme 0 : 0 et, par conséquent, ne la prend plus à partir d'une valeur de x suffisamment voisine de a.

Si le quotient f'{x) : F'{x) n'avait pas de limite déterminée quand .y tend vers a, il ne faudrait pas en conclure que la fraction proposée n'en a pas, parce que OA tend vers 0 suivant une loi inconnue dans la dernière équation, et cette loi peut être telle que le second membre ait une limite.

Cas où a = 00. — Lorsque l'existence des dérivées et les conditions précédentes subsistent quand ^c augmente indéfiniment, la seconde règle reste applicable au cas où a ==: + oo et au cas où a = — 00. Ainsi, dans le premier cas par exemple, on a

On est ramené au cas où a est fini. La règle s'applique et donne

lim 7-^ = lim

132. Forme^. — La règle de l'Hospital (deuxième règle) s'applique aussi à la détermination de la vraie valeur des fractions f{x) : F(a') dont les deux termes croissent indéfiniment en valeur absolue, pour une valeur particulière a de x.

Cette règle, qui suppose l'existence des dérivées (sauf au point a) reste toujours soumise aux mêmes restrictions : i*' elle conduit à un résultat déterminé, fini ou infini ; 2° les dérivées des deux fonctions sont finies et ne s'annulent pas simultanément dans le voisinage de ^ = a.

Pour démontrer la règle, donnons-nous deux valeurs Xo et x suffisamment rapprochées de a, pour que les deux dérivées r(x) et F'(a') soient déterminées dans leur intervalle et n'aient pas de racines communes (les deux valeurs Xo et x seront donc du même côté du point a). Xous pourrons appliquer la formule de Caucliy, et il viendra (^ étant intermédiaire entre Xo et x)

F(A-)-F(Ao)

On tire de là

/■'(i)i-F(Ao):F(A:)

F (A) F'{^i-f{Xo):f{x)-

Supposons, en premier lieu, que /"'(a) : F' (a') ait une limite finie. A, pour x = a. Nous allons montrer que le second membre de cette équation peut être rendu aussi voisin qu'on veut de A, à condition que x soit suffisamment voisin de a. En effet, il se compose d'un produit de deux fractions dont la première est aussi voisine qu'on veut de A, et la seconde aussi voisine qu'on veut de i. C'est ce que nous allons montrer.