VRAIES VALEURS

D'abord on peut rendre ^ aussi voisin qu'on veut de a, à condition de prendre Xo et a- suffisamment voisins de a ; alors la première fraction f'{^) : F' (H) est aussi voisine qu'on veut de sa limite A. Par exemple, on peut rendre la différence < s.

Ensuite, on peut, sans cesser de satisfaire à cette condition, laisser Xo fixe et faire tendre x vers a, alors la seconde fraction a ses deux termes qui tendent vers l'unité, car f{xo) et F (Xo) sont fixes tandis que f{x) et F (x) sont infinis. Donc la seconde fraction est aussi voisine qu'on veut de l'unité.

Il résulte de là que f{x) : F {x) a pour limite A quand x tend vers a.

En second lieu, si le rapport des dérivées tend vers l'infini, la formule que nous venons d: discuter montre que f(x) : F (.y) est aussi grand qu'on veut avec /''(Ç) : F'(^). La règle est encore justifiée.

Remarques. — i*^') La règle de l'Hospital (deuxième régie) reste applicable au cas où a = oo, dans les mêmes conditions que pour la forme 0 : 0 et la démonstration est la même (n° i3i).

2°) L'application de la règle de l'Hospital au cas oo : go peut paraître illusoire, car, si une fonction f{x) devient infinie pour une valeur finie a de x, on sait que sa dérivée ne peut pas conserver une valeur finie quand x tend vers a (n° io6). Cependant cette règle est souvent utile, parce que le rapport des dérivées peut se prêter à des transformations qui mettent sa vraie valeur en évidence, tandis qu'elles ne s'appliquent pas au rapport des fonctions.

133. Cas où la seconde règle est en défaut. — Une des conditions stipulées peut venir à manquer et l'aiDplication inconsidérée de la seconde règle conduire à des résultats faux.

1°) Le rapport des fonctions peut avoir une limite quand x tend vers a, sans que celui des dérivées en ait une. Tel est le cas pour les deux rapports suivants, le premier de la forme 0 : 0 et le second de la forme go : oo :

.v^ sm -

lim

sm«;

, . X — sm^c lim ^^

Les rapports des dérivées ne tendent vers rien, ce sont respectivement :

2x sin cos -

X X I — cos X

cos X I

Toutefois, si les conditions de la seconde règle n'ont pas lieu, celles de la première sont satisfaites pour le premier rapport : les dérivées des deux termes sont 0 et i pour .v =- 0 (n-' 99) et leur quotient donne la vraie valeur, 0, de la fraction.

2°) Réciproquement, le rapport des dérivées peut avoir une limite sans que celui des fonctions en ait une. Le cas est plus rare, mais en voici un exemple. Le rapport

e-2a" (cos cV -|- 2 sin x) ^i -\- 2 tg x e-^(cos a: -f- sin x) '~ i -f- tg x

prend la forme 0 : 0 quand x tend vers l'infini. Sa vraie valeur est indéterminée, car (i + 2 tg a') : (i + tg x) varie indéfiniment de 4- 00 à — co. Au contraire, le rapport des deux dérivées :

— 5 e-2«^ sin ^ 5 ^ -— = -e-^

2 e--^ sm X

a pour limite 0. La règle est en défaut, parce que les deux dérivées ont un facteur commun, sin x, qui s'annule une infinité de fois quand x tend vers ce.

134. Autres formes d'indétermination. — Les autres formes d'indétermination les plus importantes sont :

co — c», 0.x et 0'^, ce", 1^ .

La première se présente lorsque les deux termes de la différence/"(^c) — Y{x) augmentent indéfiniment pour a; =a ; la seconde, lorsque des deux facteurs du produit f{x). F {x) l'un tend vers zéro et l'autre vers l'infini. Ces deux formes se ramènent immédiatement à la forme 0 : 0 ou co : 00, par de simples transformations algébriques, en écrivant ces expressions sous forme de fraction. Dans le premier cas, on pourra toujours poser, par exemple,

* Quant aux trois dernières formes d'indétermination, on cher-