MAXIMES ET MINIMES
§ 3. Maximes et minimes (*) des fonctions d'une seule variable.
136. Définitions. — Si f{.\) atteint sa plus grande valeur dans l'intervalle (A, B) en un point a de cet intervalle, /"(a) s'appelle LE maxime de f{x) dans l'intervalle (A, B). De même, la plus petite valeur, f{b), serait le minime.
Si la valeur de f{x) est plus grande au point a qu'en tout autre point suffisamment voisin, c'est-à-dire si l'on a, quel que soit le signe de h, sous la seule condition que | h \ soit suffisamment petit,
/"(a) s'appelle un maxime de la fonction, la fonction est maximée au point a et a est un maximant.
Si f{x) est plus petite au point a qu'en tout autre point suffisamment voisin, c'est-à-dire si l'on a, quel que soit le signe de h et sous la seule condition que | h | soit suffisamment petit,
/(a + /i)-/Xa)>0,
f{a) est UN minime de la fonction, celle-ci est minimée au point a et a est un minimant.
Géométriquement, si l'on construit la courbe y = /(-v)- ^^^ maximes et minimes correspondront aux points tels que M et M' de la courbe (fig. 2), — où l'ordonnée MP est plus grande et l'ordonnée M'Q plus i)etite que les ordonnées suffisamment voisines.
Il importe de remarquer que, suivant ces définitions, un maxime ou un minime j^io-, 2.
n'est pas nécessairement la plus grande ou la plus petite valeur de la fonction dans tout l'intervalle où x varie, mais seulement une plus grande ou une plus petite valeur dans un intervalle suffisamment petit, quel que réduit qu'il faille le supposer. Rien n'empêclie donc qu'une fonction ait plusieurs maximes ou plusieurs minimes dans un intervalle donné.
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{*) On dit aussi 3Iaxima et Minima. Nous suivons ici la terminologie de VEncylopédie des Sciences mathématiques.
l3o CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
Ou conjugue les verbes maximer et minimer. On dit extrémer pour l'un et pour l'autre. Une fonction est extrémée si elle est maximée ou minimée. Un maxime ou un minime est un extrême, etc.
137. Théorème. — Les seuls points où f{x) puisse être extrêmes sont ceux où sa dérivée s'annule ou cesse d'exister.
C'est une conséquence immédiate des remarques du n° 102. Si f'{x) existe et n'est pas nul, la fonction f{x) est croissante ou décroissante au point x et acquiert au voisinage de ce point des valeurs plus grandes et des valeurs plus j)etites qu'en ce point : elle ne peut donc y être extrémée.
On remarquera que les points où f'{x) s'annule sont ceux où la tangente à la courbe y = f'{x) est parallèle à l'axe des x, comme on l'a représenté dans la figure 2.
Supposons maintenant qu'il s'agisse de trouver les extrêmes d'une fonction f{x) dans un intervalle où sa dérivée première existe. Les seules valeurs de x capables d'extrémer la fonction seront les racines de l'équation f'{x) = 0. Soit a l'une d'elles. Nous aurons par la formule des accroissements finis (0<6<i)
Supposons que f'(a) existe et soit différent de 0.
Ce quotient tend vers f"{a) quand h, donc 6/î, tend vers 0 ; il aura donc le signe de f"{a), pourvu que | h \ soit suffisamment petit, même si f"{a) est infini. Donc, 0 et h^ étant positifs, /(a + h) — /'(a) sera du signe de /""(a). Il y aura :
un maxime si /""(a) < 0, un minime si f"{a) > 0.
Plus généralement, supposons que la dérivée d'ordre n existe au point a et soit la première qui ne s'annule pas en ce point. Déveloijpons /(a -f /i) — /'(a) par la formule de Taylor jusqu'à l'ordre n. Tous les termes sont nuls sauf le dernier, et il reste seulement
/•(a + 70-/-(a) = ^M, où, comme on le sait (n*^ 122), M tend vers /"(")(a) quand h tend
MAXIMES ET :MINIMÉS i3]
vers 0, et, par suite, a le signe de cette dérivée pour | h | assez petit, même si cette dérivée est infinie. Alors f{a + h) — /'(a) a le signe de h^fi^){a), signe variable avec celui de h si n est impair (pas d'extrémé), invariable et le même que celui de /"(")(a) si n est pair (minime ou maxime selon que ce signe est + ou — ). De là, la règle suivante :
138. Première règle. — Pour trouver les extrêmes d'uue fonction continue f{x) dans un intervalle où sa dérivée reste finie, on cherche les racines de cette dérivée. Soit a l'une d'elles. On substitue cette racine dans le& dérivées successives de f{x) supposées existantes jusqu'à ce qu'on en trouve une qui ne s'annule pas pour X = a. Si cette dérivée est d'ordre impair, il n'y a pas d'e.xtrémé ; si elle est d'ordre pair, il y a maxime si elle est négative, et minime si elle est positive.
Il n'est pas toujours nécessaire de calculer les dérivées seconde, troisième, etc., de f{x) pour décider s'il y a maxime ou minime. D'autre i^art, la régie précédente ne s'applique pas aux points où la dérivée cesse d'exister. Voici une autre règle, dont l'emploi s'impose pour la discussion des cas où la dérivée est discontinue pour .y = a.
139. Deuxième règle. — Soit f{x) une fonction ayant une dérivée déterminée f'{x) dans le voisinage du point a (le point a lui-même pouvant faire exception). Supposons que f'{x) ait, dans le voisinage du point a, un signe unicjue pour x < a, et un signe uni(jue pour x > a. Faisons passer .v })ar la valeur a en croissant ; il y aura : i'^' minime au point a si f'{x) passe du négatif au positif ; 2-' maxime si f'(x) passe du positif au négatif ; 3" ni maxime ni minime si f'(^) ne change pas de signe.
En effet, f{x) est croissant ou décroissant selon le signe de f'{x). Dans le premier cas, f{x) diminue jusqu'à ce que x ait atteint la valeur a pour augmenter ensuite ; dans le second, f{x) augmente, tant que x est < a, pour décroître ensuite ; enfin, dans le troisième, f{x) continue à croître ou bien continue à décroître après que x a passé par la valeur a.
lÎEMARQrK,. — En principe, la première règle est plus siuii)lc que la seconde, car clic n'exige (|iic le calcul de valeurs parti-
culières de certaines fonctions, tandis cxae la seconde demande l'étude de la manière dont varie une fonction. Cependant, en pratique, on rencontre le plus souvent des fonctions bien connues dont le mode de variation est familier. Aussi, dans bien des cas où la première règle, est applicable, la seconde est encore plus expéditive.
140. Maximes et minimes correspondant aux points de discontinuité de la dérivée. — Si f'{x) devient discontinue pour ^ = a, la seconde règle indique qu'il peut y avoir extrême de la fonction. Cela x^eut se présenter surtout de deux manières différentes : i" La dérivée /"'(•^') change de signe en passant par l'infini quand X passe par la valeur de a. Supposons, par exemple, que f'{x) passe du positif au négatif ; la courbe y == f{x) affecte, dans le voisinage de x = a, l'allure de la courbe AB dans le voisinage du point M (fig. 3). Le point M s'appelle un point de rebroussement et l'on voit sur la figure que l'ori'ig'- ^- donné MP est un maxime. 2° La dérivée
saute brusquement d'une valeur à une autre valeur de signe contraire. Supposons que ce soit d'une valeur négative à une valeur positive ; la courbe y = f{x) affecte alors, dans le voisinage de .Y =-- a, l'allure de la courbe AB au point M' (fig. 3). En ce point la tangente passe brusquement d'une inclinaison à une autre, de sorte qu'en réalité deux courbes viennent se réunir en M' sous une inclinaison différente. Le point M' est ce qu'on apj)elle un point saillant et l'on reconnaît sur la figure que l'ordonnée M'Q est effectivement minimée.
Exercices.
