I. Maximes et minimes d'un polynôme. Soit le polynôme

On trouve ses extrêmes en étudiant les changements de signes de sa dérivée (règle II). Soient a^, a^,... les racines réelles de degré impair de /' {x) rangées par ordre de grandeur décroissante. On aura

/' {x) = m Ao x>—' + •• = Ao {x-a,)^'' {x - a,?-' ... o{x) ; les lettres À désigneront des entiers impairs et ç(;i') sera nul ou positif.

MAXIMES ET MINIMES l33

Supposons Ao > 0; pour x = -\-cc,f{x) est égal à +00, ensuite /'(.r) change de signe chaque fois que x passe en décroissant par une des valeurs Ui, Uz,... Donc/(ai) est un minime, /(ao) un maxime, et ainsi de suite alternativement. Si Ao était négatif, l'ordre serait inverse.

2. Maximes et minimes d'une fraction rationnelle. Soit/(,-v:) ^ P : Q. Il faut étudier les changements de signes de ladérivée (P'Q — PQ') : Q^ ou, ce qui revient au même, ceux du polynôme P'Q — PQ'. On opère donc comme dans l'exercice (i). Les racines réelles d'ordre impair de ce polynôme rangées par ordre de grandeur décroissante donneront alternativement : 1° des minimes et des maximes si ce polynôme a son premier terme affecté d'un coefficient positif ; 2° des maximes et des minimes si ce coefficient est négatif. 11 peut arriver qu'une racine de degré impair de P'Q — PQ' soit en même temps racine de Q. Dans ce cas, c'est une racine de degré pair de Q et elle rend/(;ir) infinie positive ou infinie négative, mais il n'y a pas d'inconvénient à considérer, par extension, une valeur semblable comme un maxime ou comme un minime de la fonction.