II. La limite d'une somme d'infiniment petits de même signe

OL^, a,^, (Xn , dont le nombre n augmente indéfiniment, n'est

pas changée quand on remplace ces infiniment petits par d'autres pi, Pa,.,,, ^n, pourvu que les rapports p^ : a^ tendent uniformément vers l'unité.

Le mot uniformément doit être entendu en ce sens que, ciuelque petit que soit e positif, on peut prendre n assez grand pour qu'on ait, quel que soit l'indice /,

S'il en est ainsi, on aura, en supposant les a positifs,

(l — e) a, < Pi < (l 4- e) a, ;

puis, en additionnant toutes les inégalités semblables,

(i-e)>:., <SP, <(i4-e)S«, et, par conséciuent.

D'ailleurs, e étant aussi petit ({u'on le veut avec , on en conclut

ce qui exige que p, -\- (^.^ + [^n et a^ -\- oc^ -\- -}- a,j aient la

même limite finie, nulle ou infinie.

Ces deux X3riiicipes généraux peuvent revêtir un autre énoncé moyennant la remarque suivante :

Quand deux infiniment petits « et c/J ont pour limite de leur rapport l'unité, leur différence o est infiniment petite par rapport à chacun d'eux, et réciproquement.

En effet, l'équation o = a — a' peut s'écrire

I^e second membre a^ant pour limite zéro, il en est de même

du premier et o est infiniment petit par rapport à a'. Réciproquement, si 0 est infiniment petit par rapport à a', o : a' tend vers zéro, et, par conséquent, a : a' tend vers l'unité,

Les principes de substitution peuvent donc aussi s'énoncer comme il suit :

On peut, sans changer la limite d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits, négliger dans (■ha<jue terme une quantité infiniment petite par rapport à lui.

Toutefois l'énoncé de ce i^rincipe doit être complété, dans le cas d'une somme, par la condition contenue sous le mot uniformément dans l'énoncé primitif.

L'utilité de ces princi]3es consiste en ce qu'ils permettent de négliger dans bien des cas précisément les parties des infiniment petits qui font la difficulté du problème.

■^ 3. Des fonctions d'une variable réelle.

22. Fonctions d'une variable. — Etant données deux variables X et y, on dit qu'elles sont fonctions l'une de l'autre dans le sens le plus général, s'il existe une dépendance quelconque entre les valeurs que l'on peut attribuer à ces deux variables. En général, on considère une des deux variables comme indépendante, par exemple x. La valeur de x peut être clioisie à volonté, mais, X étant donnée, y n'est plus arbitraire. On dit alors que 3" est fonction de x et cette dépendance s'exprime par la notation

On étudie dans les éléments des mathématiques un certain nombre de fonctions relativement simples, dont les propriétés sont bien connues et que l'on représente par des symboles particuliers. Ce sont les fonctions élémentaires :

x"\ A^, sin X, etc.

On dit que la fonction f{x) est uniforme, ou univoque, ou à détermination simple, si elle n'est susceptible que d'une seule valeur pour chaque valeur de x, telles sont A^ , sin x,... Au contraire, la fonction est multiforme, ou plurivoque, ou à déterminations multiples, si elle est susceptible de plusieurs valeurs pour chaque valeur de a\ Telle est la fonction \/a: qui peut recevoir deux valeurs de signes contraires pour chaque valeur de x.

FONCTIONS d'une VARIABLE REELLE

On classe les fonetions en fonctions explicites ou implicites suivant que la relation entre 3^ et x est donnée par une équation résolue par rapport à la fonction 3- ou non résolue par rapport à cette fonction ; en fonctions algébriques ou transcendantes suivant que la relation entre y et x peut ou ne peut pas être exprimée par une équation dont les deux membres sont des polynômes entiers en a" et en y, Les fonctions algébriques se partagent elles-mêmes en rationnelles ou irrationnelles, suivant que l'équation qui lie y à a* est du premier degré par rapport à j ou ne l'est pas. Une fonction rationnelle s'exprime donc par le quotient de deux polynômes en a ; en particulier, si elle se réduit à un polynôme, on dit qu'elle est rationnelle et entière.

Lorsque la relation v =/('V) qui lie y à a peut être résolue par rapportât, de telle sorte qu'on en tire a- = 'fiy), la fonction <f{y) s'appelle la fonction inverse de /"(a). C'est ainsi que les fonctions a'"% A^, sin a, tgA,... ont respectivement j)our

inverses x"^, Log x, arc sin a, arc tg a, etc.

La variation d'une fonction se représente géométriquement en utilisant les principes de la géométrie analytique. On trace généralement deux axes rectangulaires OX et OY, j)ai" rapport auxquels on détermine les coordonnées x et y d'un point. L'équation y -= /(a) sera généralement celle d'une courbe i)lane, que l'on considère comme une représentation géométrique de la fonction /"(a).

Remarque. — Il arrive souvent -que l'on est amené à considérer une constante ou bien la variable indépendante elle-même comme des cas particuliers d'une fonction. 11 n'y a là rien qui doive surprendre, car ces cas particuliers se rencontrent déjà dans les fonctions élémentaires et ce sont même les plus simples. Ainsi, la fonction x"^ se réduit à i pour m = 0 et à a pour m = I. Dans la représentation géométrique correspondante, la courbe se réduit à une droite, parallèle à l'axe des a ou bissectrice de l'angle des axes.

23. Oscillation d'une fonction dans un intervalle. — Si la fonction /■(a) est bornée dans l'intervalle {a, b), c'est-à-dire quand a varie dans (a, b), elle a, comme on le sait (i3), une borne infé-

rieiire m et une borne supérieure M. La différence M — m entre les bornes supérieure et inférieure de /'(.v) dans l'intervalle (a, b) s'appelle V oscillation de la fonction dans cet intervalle. Si la fonction n'est pas bornée dans l'intervalle (a, b), on dit que son oscillation est infinie dans cet intervalle.

Suivant ces définitions, si l'oscillation de /'(.v) est finie et égale à M — m dans l'intervalle {a, b) et que l'on partage cet intervalle en plusieurs autres consécutifs par des points intermédiaires : i'' la borne supérieure de la fonction sera encore M dans un au moins des intervalles partiels et ne pourra surpasser M dans aucun ; 2° la borne inférieure sera m dans un au moins des intervalles partiels et ne sera inférieure à m dans aucun ; 3" la somme des oscillations dans les intervalles partiels sera au moins égale à M — m et l'oscillation ne sera supérieure à ^I — ni dans aucun de ces intervalles. Enfin, si l'oscillation de /'(.v) est infinie dans l'intervalle (a, b), elle le sera encore dans un au moins des intervalles partiels.

24. Oscillation en un point. Définitions relatives à la continuité. — Si la fonction f{x) n'est bornée dans l'intervalle (a — 8, a -\- 8) pour aucune valeur positive si petite qu'elle soit de 8, on dit que Voscillation de /'(.v) est infinie au point a. Sinon l'oscillation de /"(.v) dans l'intervalle (a — 8, a -f 8), qui est constante ou décroissante quand 3 diminue, tend vers une limite déterminée quand ô tend vers 0. Cette limite est Voscillation de /'(.v) au point a.

Si l'oscillation est nulle en ce point, la fonction est continue au point a, ou pour x = a. — La fonction f{x) est donc continue au j)oint a, si f{x) a pour limite f{a) quand x tend vers a d'une manière quelconque.

L'oscillation définie ci-dessus est l'oscillation totalesiu point a, par opposition avec les oscillations à gauche et à c/ro/fe du point a qui se définissent comme la première, mais en considérant les limites des oscillations dans les deux intervalles (a — 8, a) et (a, a 4- 8). D'après ces définitions, toutes les oscillations sont des quantités essentiellement positives ou nulles.

La fonction f(x) est continue à droite du point a si son oscillation est nulle à droite du point a. Elle est continue à gauche