Maximes et minimes de e^ sin x

'R. X =^ 2kT: (minimant), AT == {2k + i) "^^ (maximant).

8. Montrer que la fonction (4 cos x + cos 2x) est maximée ou minimée en même temps que cos x.

R. On 2if'{x) = — 4 sin AT (i + cos x). Les changements de signes def'{x) sont les mêmes que ceux de — sin x = D cos x.

g. Avec trois côtés égaux former un trapèze d'aire maximée.

R. Soit cp l'angle à la base du trapèze. Il faut maximer la fonction

sin «f (i + cos f) -^ 4 sin — cos^ -, d'où «p =^60°. Le trapèze est formé

par trois côtés et la diagonale d'un hexagone inscrit.'

10. Trouver sur une droite donnée OX un point P tel que la somme de ses distances à deux points donnés A et B soit minimée.

l34 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

R. Les deux droites AP et KP doivent être également inclinées sur OX.

11. Etant donné un cône droit, on demande de le couper, parallèlement à la génératrice, par un plan tel que le segment parabolique résultant soit le plus grand possible.

R. Soient a le rayon de la base du cône, x la portion de ce rayon entre la génératrice et le plan sécant. On trouve x ^^ a : 2.

12. Dans un levier du second genre, pesant et homogène, quel doit être le bras de levier x de la puissance Q, pour que celle-ci*soit minimée, le moment M de la résistance étant donné ?

R, Soit g le poids de l'unité de longueur du levier. On trouve gx^= 2M,Q = \/^Mi.

i3. Dans quel système de logarithmes peut-il exister un nombre égal à son logarithme ?

R. Soit a le base du système. Il faut que x — loga x puisse s'annuler et, pour cela, que son minime soit négatif. Ce minime a lieu pour X ^^ Logri e. La condition que le minime soit négatif donne

§ 4. Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples.

141. Objet de cette décomposition. — On appelle fraction simple une fraetion dont le numérateur est nue constante, et le dénominateur une simple puissance d'un binôme telle que (z- — a)" . Nous allons montrer, en nous servant du développement d'une fraction rationnelle par la formule de Taylor, que toute fraction rationnelle peut se décomposer en un polynôme entier et une somme de fractions simples. Xous verrons plus tard, dans le calcul intégral, toute l'importance de cette décomposition.

142. Formule de décomposition. — Soit à décomposer la fraction rationnelle

F{zy

Si ce n'était pas une fraction proprement dite, en effectuant la division, on la décomposerait en un polynôme entier et une fraction proprement dite. Nous admettrons donc que cette opération ait été faite et que f{z) soit de degré moindre que y{z).

Soient ii,b,... l les racines réelles ou complexes de F(s); a, p,.., X leurs degrés de multii)licité respectifs. On a

DECOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES l35

Fi(s) ayant toutes les mêmes racines que F(s) sauf la racine a. La fraction f(z) : F 1(0), n'étant plus infinie pour z = a, peut se développer par la formule de Taylor (n" 127) sous la forme

d'où, en divisant par (z — a)^ ,

(2) /"C^) Aq Al lA^iiLi M ■

Le dernier terme Mi est, comme on le sait (u" 127), une fraction proprement dite ayant pour dénominateur Fi(^). Les termes précédents sont des fractions simples. On est ainsi ramené à décomposer la fraction

Pour cela, on recommence la même opération. On pose

F,{z)^(z-bfF,{z),

de sorte que F^iz) admet les mêmes racines que F (z) sauf les deux racines a et b. En développant /", : Fj suivant les puis, sances de {z — b) et en divisant j)ar (z — bY , il vient

et on est amené à décomposer la fraction rationnelle M;,, qui a pour dénominateur Fo{z).

On continue ainsi de suite de manière à épuiser toutes les racines de F (z). Quand on arrive à la dernière, il n'y a plus qu'à décomposer une fraction proprement dite de la forme

et l'opération s'arrête, car, après avoir développé le polynôme (f {z) de degré < X suivant les puissances de z — /, on trouve

sans nouveau terme complémentaire.

l36 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

Substituons maintenant, de proche en proche, dans l'équation (1) les développements de Mj, Mg,... M, nous trouverons la formule de décomposition de f{z) : F (z) en fractions simples :

m Ao A, A

F(^) {z-a)y-^{z-ar-^^--^

B„ , B, ^ . Bo,

{z—hf (z — hf-' z-b

143. Unicité du développement. Valeurs des coefficients. — Le développement que nous venons d'écrire n'est jpossible que d'une seule manière, et ses coefficients peuvent se déterminer sous forme de dérivées.

Pour le montrer, définissons la fonction A(;;) comme il suit :

et multiplions la formule de décomposition par {z — a)* ; elle prend la forme

A {z) = A„ + Al {z a) + ... + Aa-x {z - a^-' + M (s - a)- ,

M gardant une valeur finie pour z = a. Donc les coefficients sont ceux de la formule de Taylor et nous avons

A'(a) ^ A'Xa) , A('^-^)(a)

F{zy

Bo = B{b), Bj - -—^, B. =. ^^, .... B3 i = -^ô^j^yj,

et ainsi de suite.

Ces formules peuvent servir à la détermination pratique des coefficients. On peut emploj^er aussi d'autres méthodes que nous allons indiquer.

144. Autres méthodes pour calculer les coefficients. — i^ Méthode des coefficients indéterminés. On pose a priori la formule de décomposition, dont la forme est connue^ en laissant les numé-