DÉCOMPOSITION EÎST FRACTIONS SIMPLES

rateurs indéterminés. On chasse ensuite les dénominateurs en multipliant les deux membres par F{z). En égalant les coefficients des mêmes puissances de z, on forme un système d'équations linéaires qui détermine les coefficients inconnus.

2° Méthode de dérivations successives. Soit, par exemple, à déterminer les coefficients A. Si l'on multiplie l'équation (1) du n'' 142 par F^{z), qui est égal à F(s) : {z — a)", il vient

f{z)-F,{z)\^Ao+A,{z-a)-}-... + A^Sz-.ar-''^={z-arM,F,{zl

d'où l'on conclut que le polynôme du premier membre admet la racine a au degré a. Donc il s'annule pour'0 = a ainsi que ses (a — i) premières dérivées. En le dérivant (a — i) fois et en exprimant que ces conditions sont satisfaites, on obtient successivement

/•(a)-F, (a)Ao = 0, /•'(a)-F:(a)Ao-F,(a)Ai = 0, /"(a) - F;'(a) Ao - 2F:(a)A, - 2F,(a)A, = 0,

et ainsi de suite. C'est un système d'équations récurrentes qui déterminent de i^roclie en proche Ao, A,, Aj,.,.

3*^ On peut arriver autrement au même système d'équations. On remplace z par a -f /z dans le polynôme que l'on vient de dériver successivement, ce qui donne

fia + h) - F,(a + h) [Ao + A,h + ... -f A^^ a"'"'] ;

puis on ordonne suivant les puissances de h jusque A"^~*. En exisrimant alors que les coefficients de toutes ces puissances sont nuls, on retrouve le système d'équations qui précède. Ce sont ces derniers calculs qui seront ordinairement les plus rapides. Ils reviennent à effectuer la division de /"(a + h) par Fi(a -|- h) en ordonnant suivant les xJuissances croissantes de h.

145. Cas des racines simples. Formule de Lagrauge. — Lorsque toutes les racines de F (;;) sont simples, le développement en fractions simples se réduit à

l38 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS

Les coefficients A, B..., se déterminent alors par les formules

que l'on trouve par la règle de l'Hospital dans le cas où elle s'applique aux variables complexes. La formule de décomposisition est donc la suivante :

f{z) fia) 1 m I

La formule de Lagrange n'est qu'une transformation de la précédente. On fait les substitutions :

et l'on multiplie par F (s) ; il vient

f(z) = fia) i—b){^-c)-{^-l) ,f^i. {z-a)iz~c)...(z-l)

Cette formule s'appelle la formule d' interpolation de Lagrange. On s'en sert pour construire la fonction f{z), entière, de degré < n, qui prend n valeurs données f{a), f{b),... pour n valeurs données a, b,... l de z.