CHAPITRE III
Fonctions explicites de plusieurs variables.
8 1 . Dérivées partielles et différentielles partielles ou totales des fonctions de deux variables.
146. Dérivées et différentielles partielles. — Soit ii = /"(a-, y) une l'onction continue et univoque de deax variables indépendantes X et y. Si l'on attribue à y une valeur constante et qu'on fasse varier x, u devient une fonction continue de cV seul. Si elle admet une dérivée, celle-ci se nomme la dérivée partielle de u par rapport à x. Cette dérivée partielle est ainsi, par définition, la limite du rapport
i\x^ ^x,y)-f{x,y) Aa-
quand la différence Aa; tend vers 0. On la représente par l'une ou l'antre des notations suivantes :
r' / \ TA /•/ \ TA dfix, y) du
tx{x,y), T>:^f{x, y) ou D,^«, J^iJ^ q^ j-.
De même, en regardant a comme constant et y comme variable, on forme le rapport
t\x, y + Ay) — f{x, y)
Si celui-ci tend vers une limite quand Ay tend vers zéro, cette limite est la dérivée partielle de u par rapport à y et se représente par les symboles, analogues aux précédents :
Les différentielles partielles d^-ii, dyU sont, par définition, les produits :
dyii = —- Aa, (/,/ u ^ ~~ A V, ùx ^ ày '
140 CHAPITRE m. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
des dérivées partielles en a: et en y par les différences arbitraires ^x et ^y des variables correspondantes.
147. Différentielle totale. — Rappelons d'abord les définitions qui ont été données pour une fonction 11 d'une seule variable x. Cette fonction est différentiable si son accroissement Ah peut se mettre sous la forme
Au =- A A;x; + e Ax,
où A est indépendant de Aa; et e infiniment petit avec A.v, auquel cas sa différentielle, du, est la partie, A A.v, de Am qui est simplement proportionnelle à Ax.
Ces définitions s'étendent tout naturellement aux fonctions de plusieurs variables.
Considérons une fonction 11 de deux variables qui reçoivent respectivement les accroissemenls Aoc et Ay, et posons, pour abréger l'écriture,
p = I A.V I + I Ay I .
Nous dirons que 11 est différentiable au point x, y si u est bien déterminée aux environs de ce point et si son accroissement Am peut se décomposer en deux parties comme il suit :
(1) Aw = (A Aa; + B ^y) + ep,
A, B étant indépendants de ^x et Ay, et e infiniment petit avec p. Il est clair d'ailleurs qu'il est indifférent d'écrire ep ou
^'^x + e"Ay,
pourvu que e' et e" tendent vers 0 quand A.v et Aj tendent vers 0 d'une manière quelconque.
Quand u est différentiable, la partie de Au qui est simplement linéaire en àx et Ay s'appelle la différentielle totale de u et se représente par du. On a donc
rfu =- A Ax -f B Ay.
Théorème. — La différentielle totale d'une fonction différentiable de deux variables est la somme de ses deux différentielles partielles.
En effet, posant Ay -- 0 dans (1), puis faisant tendre A.v vers 0, on en conclut
DERIVEES ET DIFFERENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES
lim — — àx
du ~'dx
de
même
du ' ày
Par conséquent,
du =
du ,
dx
dji
Ay =
- dcc u
+ djyii
Ceci montre que les dérivées partielles de u sont finies et déterminées en tout point où u est différentiable, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.
Si l'on fait u = x, ou u = y, dans (2), il vient
dx = ^x, dy - ^y,
et, en substituant ces valeurs dans (2), il vient
/o\ j au j , du j
(3) du=-^,dx+^dy.
La comparaison des équations (2) et (3) appelle une remarque analogue à celle qui a été faite dans le cas des fonctions d'une seule variable (n° 98). L'équation (3) est, comme nous le verrons, plus générale que (2). Celle-ci suppose les variables x et y indépendantes, tandis que l'équation (3) n'est pas soumise à cette restriction.
Il est essentiel de remarquer que, la fonction u étant différentiable au point (x, y), l'expression (1) de l'accroissement Aw prend maintenant la forme
^A\ K au , du . , , ,
^^ " ^ dx +ôy^y^^^^ ^^ ^^'
Les équations (1) ou (4) mettent d'ailleurs en évidence que An tend vers 0 avec p (donc avec ^x et Ay) ; d'où la x^roposition importante : Une fonction est continue en tout point où elle est différentiable.
148. Théorème. — Une fonction ne peut cesser d'être différentiable que si ses dérivées partielles cessent d'être continues.
Sous une forme plus précise :
La fonction u = f{x, y) sera différentiable au point M {x, y), si fy est finie et déterminée au point M, f[r déterminée dans les environs du point et, déplus, continue au point M (ou viceversa).
l42 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
Décomposons la différence A/en une somme de deux autres différences :
[/■(A- + ^x, y 4- Av) - f{x, y + ^y)] + [f{x, y + A y) - /'(.v, r)]
Désignons par e', e" des quantités qui tendent vers 0 avec les A. Nous avons d'abord
f{x, y + Aj) - f{x, y) = f%x, y)^y + s'A y,
parce que fy(x, y) existe et est finie ; ensuite, par la formule des accroissements finis,
f{x + ^x, y 4- Al') f{x, y -f Ay) -- \xfi{x + OAx, y + ^y)
= f'^{x, y)Ax 4- e"A.v,
parce que /'^ est déterminée aux environs de M et continue en ce point. Substituant cela dans l'expression de A/", elle devient
A/-^ f'^\x + fl^y + s"A.Y 4- s'A.r.
Comme £"A.v 4- s'Ay est de la forme ep, car | A.v | et | Ay | sont ^ p, cette relation est de la forme (1), ce qui prouve la proposition.
149. Remarque. — Les conditions énoncées dans le théorème précédent et, en particulier, l'existence des dérivées aux environs du lîoint M, ne sont nullement nécessaires pour que la fonction soit différentiable en ce point. Ou peut d'ailleurs donner une expression assez simple de la condition nécessaire et suffisante pour cela. A cet effet, désignons, en général, par A.tjO et ^yO les accroissements d'une fonction '^{x, y) provenant respectivement des accroissements A.v seul et A)- seul. Si l'on donne successivement ces accroissements à .v puis à y, f{x, y) devient successivement
(i + A,)/; puis (i+Ay)(i4A.,)/-=(i + A)/-.
D'où la relation
Mais, si /' est différentiable, les dérivées partielles sont existantes et finies, on a donc
DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l43
Donc la condition nécessaire et suffisante pour que f{x, j) soit différentiable en un point {x, y) où ses deux dérivées partielles sont finies et déterminées, est que la différence seconde A.rA^/"sofï infiniment petite par rapport à p.
150. Dérivée et différentielle d'une fonction composée d'une seule variable indépendante. — Soit u = f(x, y) une fonction différentiable au point x, y. Remplaçons-y x et 3- par deux fonctions d'une variable indépendante unique t, différentiables au point t. Nous obtenons ainsi une fonction composée de t. Pour calculer sa dérivée au point t, remarquons que la formule (4) subsiste indépendamment de toute hypothèse sur les accroissements ^x et ^y, de sorte que nous pouvons admettre qu'ils correspondent à l'accroissement AL Divisons alors la formule (4) par àt, il vient (en écrivant /"au lieu de u)
Af âx M '^ây M "*" M'
Faisons tendre ^t et avec lui Ix, Ay, e et p vers 0 ; il vient, à la limite, vu nos hypothèses au point t, en vertu desquelles ^x : Af, Ar : A^ et p : A^ ont des limites finies,
d/Jx^^dfdx dfdy dt ' dx dt '^dy df
Donc, si f{x, y) est différentiable, et si x, y sont des fonctions différentiables de t, la dérivée de f par rapport à t est la somme des dérivées partielles de f jnir rapport à x et y respectivement multipliées par les dérivées de x et y par rapport à t. C'est la règle de dérivation des fonctions composées.
En multipliant cette formule par dt, on obtient la différentielle de f{x, y), à savoir
df{x, y) ^ p dx + -^ dv.
D'où le théorème suivant :
Si f{x, y) est différentiable et si x et y sont deux fonctions différentiables d'une même variable t, la différentielle de f{x, y) considérée comme fonctions de t, s'exprime au moyen de x, y, dx et dy, par la différentielle totale de f{x, y) comme si les variables X et y étaient indépendantes.
l44 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
Remarque. — Le théorème général que nous venons d'énoncer renferme, comme cas particuliers, les règles de dérivation d'une somme, d'un produit et d'un quotient que nous avons démontrées séparément au chapitre P' ■(n° gS). On vérifie, en effet, immédiatement que les seconds membres des formules : cl {il -j- d) = du + dv, d iiv -= Il du -\-v du,
, Il V du — Il dv d - =
représentent respectivement la somme des différentielles partielles des premiers membres par rapport à ii et à v.
151. Calcul pratique des différentielles totales. — Le théorème précédent revient à dire que les différentielles totales se calculent par les mêmes règles que les différentielles des fonctions composées d'une seule variable. Si les différents modes de composition de la fonction f{x, y) sont de ceux qui ont été prévus au chapitre I, et c'est ordinairement le cas, il suffira d'appliquer les règles établies dans ce chapitre pour obtenir la différentielle totale.
C'est ainsi que les règles de différentiation d'une fonction de fonction, d'un quotient et d'une somme (n'' 90) conduisent aux résultats suivants :
y a: X dy — y dx d arc tg ^ = 5=-- ^-^—r^ — '■>
,—7— ï dsJx^ + r^ 2 X dx -h 3 y-dy
d Log \Jx' -\- y^ = ^ ^ = . .. -. %v ' .
On voit que les différentielles totales s'obtiennent sans calculer séparément les dérivées partielles et l'on évite ainsi la répétition inutile de certains calculs.
D'autre part, si l'on connaît la différentielle totale de f{x, y), on peut en déduire à simple lecture ses deux dérivées partielles. En effet, dx et dy étant des coefficients indéterminés, la dérivée partielle par rapport à .v sera le coefficient de dx, et la dérivée partielle par rapport à y celui de dy, dans l'expression de la différentielle totale. C'est ainsi que l'on tire immédiatement du calcul fait plus haut :
