DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES

152. Dérivées partielles du second ordre. — Soit ii =■■ f\x, y) une fonction de deux variables indépendantes a; et y ; ses dérivées partielles fx et fy seront, en général, des fonctions de a; et de y et j)Ourront admettre elles-mêmes des dérivées partielles. Nous désignerons la dérivée partielle de fx par rapport à x par

fe(A-, y) ou dL/" ou ^»

et sa dérivée partielle par rapport à y par

/•;;Ov,y) ou lyVyf ou ^^'

De même, les dérivées partielles de fy par rapport à .v et à y seront respectivement

Jyx — iJycci — ^y^^' Jyy — ^yyJ ~ ^^2

Voici, concernant ces dérivées, un théorème fondamental, en vertu duquel fy:r -= fxy, ce qui réduit à trois seulement le nombre des dérivées partielles du second ordre.

153. Interversion des dérivations. — Théorème 1 (Young). — Si fx et fy sont déterminés aux environs du point x, y et différent iables en ce point, on a, au point x, y,

' ccy — ' yx

On obtient ce théorème en calculant de deux manières différentes la différence seconde :

D'abord A^/"est l'accroissement éprouvé par

quand .v augmente de h, d'où, en appliquant à ^{x) la formule des accroissements finis,

^Y-= h[fr (a- + e/î, 3- + h) - /•; {x + 6/ï, y)]. Mais, comme f x est différentiable au point a", y, on a, par la formule (4) du n'^ 147, e' et e" tendant vers 0 avec h,

fx {x + e/î, y + h) - fx (x, y) = dhfxx + hf'.ry 4 e'h, fx {x 4 Hh, y) - /•;. (a-, y) = f^hfxx h e'77.

l46 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

Portant la différence de ces deux quantités dans le crochet, on trouve

où s désigne encore une quantité, e' — s", qui tend vers 0 avec h. D'autre part, A-/" est l'accroissement de la fonction

^iy) = f{^-\'h,y)-t\x,y)

quand y augmente de h, en sorte que l'on trouve, par un calcul symétrique du j)récédent.

Faisant tendre h vers 0, il vient donc

Le théorème de Young postule l'existence de toutes les dérivées secondes au point x, y, mais non leur continuité. Le théorème suivant de Schwarz ne postule l'existence que de fc^y (mais aussi sa continuité) et il pent être plus utile dans certains cas :

Théorème II (Schwarz). — Si fx, l'y et fœy existent dans le voisinage du point (x, y), et si f'J-y est continue au point {x, y), l'autre dérivée fyx existe aussi en ce point et est identique à fa-y

Posons, pour simplifier,

on aura, par la formule des accroissements finis, qui s'applique deux fois de suite,

o {X + h) - cp (x) = h [f^ {X + fih, y + A-) - f^ {X + e/2, y)] ^hkf';^{x ^(ih,y \-H^k).

Cette dérivée seconde est continue ; donc, en désignant par e une quantité qui tend vers 0 avec h et k, on peut écrire cp {X + A) - cp (A') =^ /îA-[/-;^ {X, y) + e].

Divisons d'abord par A: et faisons tendre A' vers 0 ; les deux rapports tp : A- an premier membre ont pour limites des dérivées f supposées existantes et l'on trouve

DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l47

Divisons maintenant par h et faisons tendre h vers 0 ; e tend vers 0, et il vient, par définition de la dérivée seconde, f' = /"'',

' ■»- ' i/x ' xy ■

Donc, si les dérivées considérées sont continues, les caractéristiques D:r et D,/ peuvent toujours être interverties.

Les quatre dérivées partielles du second ordre de la fonction u = f{x, y) se réduisent donc en général à trois distinctes :

dx~' dxdy dydx' dy^ '

Cette notation a l'avantage de mettre l'égalité des deux dérivées partielles en évidence et, quand on l'emploie, on suppose toujours implicitement que les conditions nécessaires pour assurer cette égalité sont remplies :

154. Différentielles partielles du second ordre. — Aux dérivées partielles du second ordre correspondent les différentielles partielles, définies par les équations :

72 à'U , „ , , • à'^ii 1 1 ;2 d^u J 9

dcc u ^ ^r-— dx^, dj- «v II =- -., — r- dxdy, dy u = -^-^ dy.

dx^ "• dxdy ' ^ dy^ ^

L'éqnation J}cnT>yU = T)yT>xU entraîne donc aussi l'égalité

dx dy u = dy dx u ,

de telle sorte que l'ordre de deux différentiations partielles successives par rapport à .x et à y peut aussi être interverti.

155. Dérivées et différentielles partielles d'ordre quelconque. — Le théorème du n" i53 se généralise de lui-même. Concevons que l'on effectue sur une fonction ii == f{x, y) un nombre quelconque de dérivations partielles successives, les unes par rapport à x, les autres par rapport à y, dans un ordre arbitraire. 11 suit de ce théorème que l'ordre de deux opérations consécutives peut être interverti quand elles se rapportent à deux variables différentes, pourvu que toutes les dérivées que l'on considère restent continues ou, plus généralement, que l'on ne dérive que des fonctions différêntiables. Moyennant cette restriction, on peut, par la répétition de ces permutations, ranger les dérivations dans l'ordre que l'on veut ; on peut faire, par exemple, d'abord toutes les dérivations par rai)port à .v et ensuite toutes celles

l48 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

par rapport à v. Le résultat de m dérivations par rapport à ^v et de il dérivations par rapport à y, opérées consécutivement sur la fonction ii, est indépendant de l'ordre suivi et j)eut se désigner par un seul et même sjanbole

'àxT^dyn'

Cette quantité est une dérivée partielle de l'ordre (m + n). En la multipliant par dx"'dy^^, on obtient la différentielle partielle du même ordre

156. Différentielles totales successives. — Soit u = f{x, y) une fonction différentiable des deux variables indépendantes x et y. Si sa différentielle totale

, du r . du , du = ^— dx + ^— dy dx dy -^

est différentiable, dx et dy étant considérés comme des paramètres constants, c'est-à-dire si ^— et -^ sont déterminés aux

dx dy

environs du point considéré et différentiables en ce point, on dira que u est différentiable jusqu'au second ordre et la diffétielle de du sera sa différentielle seconde d^u.

Cette différentielle se calcule de la même façon que la précédente. Mais on observe que l'on a, en vertu du théorème de l'oung- ;u" i Kj) (]ui s'applique quand du est différentiabl ,

dxdy dydx

De plus, on convient d'introduire les mêmes différentielles dx et dy dans les deux différentiations consécutives. On trouve ainsi

d-u = -T— r dx- -\- 2 -^; — :— dxdy -\- -^-^ dy^. dx~ dxdy ' dy^ -^

Les différentielles successives d^u, d^u,... se définissent ainsi de jaroclie en proclie. On dit que u est différentiable jusqu'à l'ordre n si d'^-^i est différentiable, donc si toutes les dérivées d'ordre {n — i) sont déterminées autour du point considéré et différentiables en ce point. Cette condition assure la

DERIVEES ET DIFFERENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES 149

légitimité de l'interversion des dérivations en x et en y et le calcul se fait sans difficulté.

On peut former une expression symbolique très commode de d'^uen remarquant que, pour former la différentielle totale d'une fonction, il suffit de la multiplier par le facteur symbolique

et d'effectuer la multiplication comme si -^-,-^-, dx et c/y étaient

ôx Oy

des facteurs algébriques. On trouve ainsi, en interprétant les puissances de d comme des indices de dérivation, d , , d

'''^ = W'^^ôy''yl

Ceci suppose que;xet j soient des variables indépendantes ou, plus généralement, que dx et dy puissent être traitées comme des constantes dans les différentiations successives.

Si ^c et y sont des fonctions différentiables d'autres variables indépendantes, dx et dy ont des différentielles successives d^x, d^x,... d^y, d^y,... qui s'introduisent dans les différentielles de u. Dans ce cas, on trouve, en faisant les calculs,

d^u = -^-v dx' + 2 , , dxdy -\- ~r-^ dy~ -{-^~d-x + -r- d~y, dx^ dxdy -^ dy^ -^ ôx dy -^

et ainsi de suite.

157. Méthode pratique de calcul. — Pratiquement, les différentielles totales se calculent, non par l'addition des différentielles partielles, mais par la simple application des règles générales du chapitre I. Le calcul est même si simple qu'il y a souvent avantage à se servir de ces différentielles pour calculer les dérivées partielles de u. On traite alors x et y- comme des variables indépendantes dont les différentielles dx et dy sont des constantes arbitraires. On obtient ainsi des résultats de la forme

du = pdx -f qdy, d-u = rdx^ + 2sdxdy -h tdy~ ,... où p, q, r, s, t sont des fonctions explicites de x et y. La comparaison avec les formules générales montre que l'on a, puisque dx et dy sont des indéterminées,

du au ô^u d'^u __ dhi

^ ~ dx' ^ ~~ dy' ~ dx'^' ~ dxdy' ~ dy" '"

l5o CHAPITRE ni. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

Cette méthode de calcul est surtout avantageuse lorsque l'on doit connaître toutes les dérivées partielles d'un même ordre. C'est généralement le cas dans les applications géométriques.

§ 2. Extension à un nombre quelconque de variables.

158, Définitions des dérivées et des différentielles premières. — Soit Il = /(.v, y, z....) une fonction de plusieurs variables indépendantes ; la dérivée partielle de u par rapport à l'une d'elles, X par exemple, est la dérivée de ii considérée comme fonction de X seule, toutes les autres variables étant traitées comme des constantes. On la représente par les symboles :

du df „f , X T^ /•/ X

^ «^ ^' f^ (^' 3% =■'-■)' D^fK y, -;•••)'

Les différentielles partielles d^ii, dyii,... s'obtiennent en multipliant les dérivées partielles parles accroissements Aa% Ay,... des variables correspondantes, de sorte que

7 du . , du .

d:r u = -,— Aa% dj, u= ^ Av,...

dx -^ dy -

La fonction u est différentiahle au point x, y,... si elle est déterminée aux environs de ce point et si l'accroissement Ah correspondant aux accroissements A.v, Av,... peut se décomposer dans la somme de deux parties :

Au = {A^x -h BAy + •••) + ep,

dont la première est simplement linéaire en A.v, Ay,... et où e tend vers 0 avec Aa-, Av,... c'est-à-dire avec p (*). Dans ce cas, la première partie (AAa, -f BAv + •••) se représente par du et s'appelle la différentielle totale de u. Comme d'ailleurs A, B,... sont les dérivées partielles de u en x, en y,..., il vient

, du . , du .

Donc la différentielle totale est la somme des différentielles partielles.

(*) La déliiiition ne serait donc pas changée si l'on posait

DERIVEES ET DIFFERENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES 131

En particulier, pour ii = x, pour ii = y,... on a respectivement

dx -= ilx, dy = A y, . . .

et du peut s'écrire sous une nouvelle forme , du j , au j ■