S''-^' + SP
Cette nouvelle forme a sur la première l'avantage d'une plus grande généralité comme nous le montrerons tout à l'heure (n° i59).
Si u est diff'érentiable au point x, y, nous pouvons écrire maintenant
. du . , du .
e tendant vers zéro en même temps que les accroissements A. Il suit de là qu'une fonction est continue en tout point où elle est différentiable.
La démonstration du ii'' 148 se généralise d'elle-même, de sorte qu'une fonction ne peut cesser d'être différentiable que si ses dérivées partielles cessent d'être continues.
159. Différentiation des fonctions de fonctions. — Soit u une fonction différentiable des variables x, y,..., celles-ci étant elles-mêmes des fonctions différentiables des variables indépendantes i, •/■„..., de sorte que u est une fonction composée de ^, Yi,... Je dis que u, considérée comme fonction de ç, r,,..., est différentiable et que sa différentielle totale s'exprime à l'aide de X, y,... dx, dy,... par la même formule
j du j au j .
que si les variables x, y,... étaient indépendantes.
Pour simplifier l'écriture, nous supposerons dans la démonstration qu'il n'y ait que deux fonctions intermédiaires x, y et deux variables indépendantes l, r^. Posons
P = I A.Y I + I Ay I , p' = I Ai I -f I At. I . Nous aurons, puisque x, y sont différentiables, f , dx .r , àx . , , ,
OÙ les quantités e tendent vers 0 avec p'. Soit w la valeur absolue de la plus grande de ces quantités e, et M la valeur absolue de la lÀns grande en valeur absolue des quatres dérivées partielles de .Y et 3'. Xous aurons, par les équations (1),
I ^x I < (M + w) p', I ^y I < (M + to) p'
et, par conséquent,
p I A.V [ + I Ay I
Donc le rapport p : p' reste fini et p tend vers 0 avec p'.
Ceci posé, la fonction f(x, y) étant différentiable, nous avons
. du , , du .
dx à y - '
et, en substituant dans ceci les valeurs (1), qui peuvent s'écrire
A.v = dx -f e'p', Aj' = dy -j- e"p',
il vient
Au
(^du j , du, , ^, , , /" p , , . ,A
Mais ceci prouve la proposition, car la dernière parenthèse est infiniment petite avec p' et la précédente est, en même temps que dx et dy, linéaire et liomogène en Aç et Aa,. On a donc
du = ~— - dx + ^r- « V.
dx dy '
Donc, tant que les fonctions considérées sont différentiables, les différentielles totales se calculent toujours de la même façon, que les variables soient indépendantes ou ne le soient pas.
160. rérivatioii des fonctions composées. — Si x, y,... sont des fonctions différentiables d'une variable unique t, la dérivée de u = f{x, y,...) par rapport à t s'obtient en divisant la différentielle du par dt. 11 vient ainsi
du du dx du dy 7ît~dx~dt'^dydt'^"'
ce qui généralise la règle du n° i5o.
Si X, y,... sont des fonctions différentiables de plusieurs variables ç, r,,..., les dérivées partielles de f{x, y,...) par rapj)ort à ces variables se calculent par la formule précédente,
