DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES I

sauf que les dérivées de a-, 3^... sont des dérivées partielles. Par exemple, on a

du dudx dudy

161. Différentiation des équations. — Soient x, y,... des variables indépendantes. Si une l'onction u = f{x, y,...) se réduit à une constante, on a

Au = 0, donc (par définition) du = 0.

Réciproquement, si

- du j ^ du j . ^

du = ;,- dx -f x^ dy -f ... = 0, dx dy -^

comme dx, dy,.,. sont arbitraires, chacune des dérivées partielles doit être nulle, u ne dépend d'aucune des variables et se réduit à une constante. Donc la condition nécessaire et suffisante pour que u se réduise à une constante est que l'on ait du = 0. Considérons maintenant des variables x, y,... indépendantes ou non, satisfaisant à l'équation

Xous disons que cette équation est différentiable si la fonction f{x, y,...) est différentiable. Donc, si x, y,... sont différentiables, (//"se calculant toujours de la même façon, on aura, puisque f est constant et (//' nul,

Diff'érentier totalement une équation, c'est égaler les différentielles totales de ses deux membres. Le résultat que nous venons d'obtenir se formule dans le principe suivant, qui est fondamental :

Étant donnée une équation différentiable entre un certain nombre de variables, indépendantes ou non, mais différentiables, il est toujours permis de diff'érentier totalement l'équation.

162. Dérivées et diflerentielles successives. — Les considérations émises dans le paragraphe précédent se généralisent d'ellesmêmes et il suffit d'énoncer les résultats.

Si l'on effectue un nombi-e quelconque de dérivations succès-

l54 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

sives par rapport à des variables différentes x, y, z,.,., l'ordre de deux dérivations successives par rapport à deux variables différentes peut toujours être interverti, moyennant l'iiypotlièse de la continuité des dérivées ou celle de la différentiabilité des fonctions. De la sorte, le résultat de m dérivations par rapport à X, n dérivations par rapport à y, p dérivations par rapport àz,.,, effectuées dans un ordre quelconque sur une fonction Il =- /"(a-, y, z,...), peut être représenté par le symbole unique

ôx"'dy'^dzPT^'

Une différentielle sera dite différentiable si elle est formée de dérivées partielles différentiables. Dans ce cas, les différentielles totales successives se calculent en appliquant successivement les règles établies pour les différentielles premières. Si les variables x, y, z,.., sont indépendantes, la différentielle jiiéme ([q ^(-^^ y^ 2,...) admet la forme symbolique

,;- A.v, y. -% ...) ~ (|r d.-< + 1: rfr + ^/i. + ...Jf.

163. Théorème d'Euler sur les fonctions homogènes. — Une fonction f{x, y, z,...) est homogène par rapport aux variables X, y, z,..., lorsqu'elle vérifie l'identité

(1) f{tx, ty, tz,...) = /"^ f{x, y, 2,...),

t désignant une indéterminée. L'exposant m est le degré d'homogénéité de la fonction.

Si l'on fait t ^ —, l'identité devient

c'est-à-dire

Donc, si l'on divise une fonction homogène de degré m par la /ïîième puissance de l'une des variables, elle ne dépend plus que des seuls rapports des variables.

On s'assure immédiatement qu'une fonction qui vérifie la condition (2) vérifie la condition (1). Donc l'équation (2) peut aussi servir de définition des fonctions homogènes.

DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l55

Dérivons l'équation (1) par rapport à /, il vient identiquement .v/;(/.v, ty,...) + yflitx, ty,...) + -. = mt>"-^f{x, y,...) ou, en faisant t = i,

(3) xf'^ix, y,...) f yflix, y,...) + ... = inf{x, y,...).

C'est dans cette identité que consiste le théorème d'Euler : La somme des produits des dérivées partielles d'une fonction homogène par les variables correspondantes est égale à la fonction elle-même multipliée par le degré d'homogénéité.

Plus généralement, si l'on dérivait l'équation (1) n fois de suite par rapport à t avant de faire t =^ i, on trouverait, par la formule symbolique du numéro précédent,

""£ + -'"c^ + -^VX-v, V,...) ^-m{m~i)...{m-n\-j)f{x,y„..).

Exercices.

1. Dérivées partielles et différentielles totales successives des fonctions :

{:v^-2yy^ + \/xy, -^^, \x-^-\-y' + z^ ^^~+W