Différentielle totale w'^™^ de u = arc tg

R. Différentions une première fois, il viendra

xdy — ydx i Fdx + idy dx — idy x'^^y- 21 \ x-\-yi x — yi

puis, en différentiant encore [n — i) fois,

lo6 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

2ï L (^+3'0'' {x—yt)» J

Pour se débarrasser des imaginaires, on pose

X + j'î = r (cos 6 -|- ?■ sin 6) rf;ir + / dy = ds (fos 'f + ^ sin «c). On a alors

r/« îi = ( i)«-i („ i) ! / — 1 sin «(« — 0).

On peut aussi calculer d'une manière analogue les dérivées partielles.

y. Différentielle totale n'^'^^ de u = Log V^' + J"- R. On trouve d'abord

j X dx + J' ^J' I r dx -{- i dy dx — i dy~\

"~ x^-\-y^ ~2\ x-\-yi x—yi J'

ensuite, par les substitutions de l'exercice précédent,

du H =- (— i)«-i(« — i) ! T— y^cos « ('f — 6).

Remarque. Les résultats des exercices 6 et 7 dérivent immédiatement du calcul de d" Log z dans la théorie des fonctions d'une variable complexe.

8. Si f'^{x + h. y, z,...) tend vers une limite déterminée quand h tend vers 0, on a

fl{x,y,z,...)^\m-xf^{x + h,y,z...).

R. Ce théorème se démontre en faisant tendre h vers 0 dans la relation

/(. + /,OS.,...)-/fej-, .....) ^^, (^ + ,;,^ ^, ,.,.,,

C'est donc une propriété de la dérivée des fonctions d'une seule variable.

g. Si le point x, y,... est un point de discontinuité isolé de la dérivée seconde f'^y{x, y,...), c'est-à-dire s'il n'y a pas d'autre point de discontinuité dans un domaine suffisamment petit enveloppant ce point, on aura, pourvu que ces limites existent,

/;; {x, y,...) = Hm/;; {x, y + k,...) = Ijm/;;^ {x, y + k,...), fl{x,y,...) = \{mf''{x + h,y,...) = hmf''{x + h,y,...).

R. C'est l'application du théorème précédent.

10. Déterminer, en appliquant le principe précédent, les dérivées partielles du second ordre au point x ^=y = 0 de la fonction.

FORMULE DE TAYLOR POUR PLUSIEURS VARIABLES l57

f{x, y) = X- arc tg' y~ arc tg -,

R. On trouve en général

On en conclut

/;'(0,0) = lim/;' (;.,0) = i

f" (0, 0) = lim/" (0, v) = — I.