Déterminer les dérivées partielles à l'origine de

/ (;tr, V, z) = {x + zf arc tg ^-— {y — zf arc tg -.

12. Déterminer directement les dérivées partielles des deux exercices précédents en recourant à la définition générale de la dérivée.

§ 3. Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables.

164. Formule de Taylor. — Considérons une l'onction /"(.y, 3",...) de plusieurs variables. La formule de Taylor a pour but de développer la différence /"(a -\ h, b ~\- k,...) — f{a, b,...) sous forme d'une somme de polynômes homogènes et de degrés respectifs I, 2,.,. {n — i) par rapport aux accroissements h, k,... des variables.

Le problème de trouver ce développement se ramène à celui qui a été résolu pour les fonctions d'une seule variable. Pour abréger l'écriture, considérons seulement une fonction de deux variables.

Soit u = f{x, y) une fonction différeiitiable jusqu'à l'ordre n pour toutes les valeurs de x entre a et a -\- h et toutes celles de y entre b et b -\- k. Soit ensuite t une nouvelle variable indépendante ; posons

a: = a + ht, , ,

Y = b + kt, ^"^ " ^' ^^^' ^'^ ^ '^^^'

De la sorte, ii est une fonction composée de t dont les dérivées seront déterminées jusqu'à l'ordre net continues jusqu'à l'ordre n — i inclusivement dans l'intervalle (0, i). On a donc, par la formule de Maclaurin (n° i25) pour une seule variable t (prise égale à i) et avec le reste de Lagrange,

l58 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

Les différentielles dx -=^ hdt et dy ^ kdt étant constantes, les différentielles successives de /'(.v, y) se calculent par la formule symbolique du n° i56 et l'on a

d'où

Pour ^ = 0, on a a: = a, y = b, et la formule (2) prend la forme

rm-[h§^ + k^)"f(a,b).

Pour t =- H, on a a- -= a + 9/i, >- = ^ + 8 A" et la formule (2) devient

ces valeurs dans (1), nous trouvons la ^ /■(a 4-/^5 + A-) - fia, b) = (^h^ + k ^) /"(a, t)

Portons ces valeurs dans (1), nous trouvons la formule de Taylor :

Cette formule ne suppose pas la continuité des dérivées de l'ordre n.

Lorsque a- et y sont des variables indépendantes, on peut écrire h -= cAv, A- = dy ; si l'on remplace alors a par a' et b par y dans la formule (3), elle devient

seulement, ces différentielles sont maintenant des différentielles totales. La notation emplojée pour le dernier terme

FORMULE DE TAYLOR POUR PLUSIEURS VARIABLES iSg

signifie qu'il faut remplacer, dans les dérivées nièmes qui entrent dans ce terme, x par x -]- ^ dx et y par y + 0 dy.

Ces résultats s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. Ainsi, pour trois variables,

/■(a + A, Z, + A-, c + /) = Aa, b, c) + (a A + /, ^ + ^^)r(a, ^, ^0

et ainsi de suite.

165. Formule de Maclaurin. — Celle-ci se déduit de la formule (3) en y faisant a = b ^ 0, h = x et A* = 3'. Nous écrirons le résultat comme il suit :

rt.v, y) ^ A0,0) + (..|, + ,v |,) A, .+ ^(..^ + y |)V-o,„+...

I f d , a V'-' , , I /" rf , d y,.

Ces indices signifient qu'après avoir calculé les dérivées partielles, il faut y remplacer x et y par 0. La formule de Maclaurin développe donc la fonction en une somme de termes homogènes et de degrés croissants en a*, y.

§ 4. Maximes et minimes (extrêmes) libres des fonctions de plusieurs variables.

166. Fonctions de deux variables. — On dit qu'une fonction /■(a-, y) de deux variables indépendantes est extrémée au point (a, b), lorsque la différence

garde le même signe pour toutes les valeurs de h et de k inférieures en valeur absolue à un nombre positif suffisamment petit. La fonction est maximée si cette différence est négative et minimée si elle est positive. Les extrêmes des fonctions de plusieurs variables indépendantes sont appelés libres. S'il y avait des relations entre les variables, les extrêmes seraient liés. Nous étudierons ce cas plus loin.

Tout d'abord la fonction, pour être extrémée, doit l'être quand on ne fait varier que a seul ou y seul : de là, le théorème suivant :

l60 CHAPITRE HT. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES.

Les seuls points où la fonction f{x, y) puisse être extrémée sont ceux où chacune de ses deux dérivées partielles f'^ et f s'annule ou cesse d'exister.

Supposons f{x, y) différentiable : pour trouver ses extrêmes, il faudra donc poser les deux équations simultanées :

dx dy

En résolvant ces équations par rapport à a- et à y, on trouve généralement un certain nombre de solutions. Soit .v ^a, y ^ b l'une d'elles. Il reste à examiner s'il y a réellement maxime ou minime en ce point. Voici la méthode à suivre pour trancher cette question.

Supposons les dérivées partielles premières différentiables au point (a, b). Développons la différence /"(a -\- h,b + k) — f{a, b) par la formule de Taylor en nous arrêtant au premier ordre, ce qui est légitime si | /z | et | A: | sont assez petits (n'' 164). Il viendra

t\a^-h, b^k)-f{a, b) = htl{a^Hh, b + (ik)-'r kflXa-^Hh, b-\-hk).

Posons

r --= \/h'- -\- k-, h = r sin a, A* == r cos a,

de sorte que r est une quantité positive infiniment petite et a un angle arbitraire avec h et A-. Ecrivons encore, en abrégé,

d^ga, b) ^ fï^fia, b) dm^, b)

da^ ' daâb ' db'

et désignons par e', e" des quantités infiniment petites avec r. Les dérivées partielles premières étant différentiables au point (a, b) et nulles en ce point, on a

/•;(a 4- 0/7, b + eA-) - e(A/î + BA- + e'r), /■;Xa i-hh, b -{- Hk) = h{Bh + CA- -\- e"r).

" Substituant ces valeurs, la différence /"(a -\- h, b -{- k) — f{a, b) prend la forme

(1) 9r'[A sin-'a -}- 2 B sin a cos a -j- C cos-a -f s],

où e = s' cos a -f e" sin a et tend encore vers 0 avec r.

La considération de cette expression conduit, 9 étant positif, aux conclusions suivantes :

i*') Si le trinôme

EXTRÊMES LIBRES l6l

A sin- a -]- 2 B siii a eos a -f C cos- a

ne peut s'annuler, comme il est fonction continue de a, il conservera un signe invariable et sa valeur absolue restera supérieure à un nombre positif m. C'est donc ce trinôme qui donnera son signe à l'expression (1) dès que l'on aura | s | < m, donc à partir d'une valeur suffisamment petite de r, quel que soit a. Il y aura maxime on minime selon que le trinôme sera négatif ou positif.

2"^) Si le trinôme peut changer de signe, comme il donne encore son signe à l'expression (1), pour chaque valeur de a qui ne l'annule pas, à partir d'une valeur suffisamment petite de r, il n'j' aura ni maxime ni minime.

3'^) Enfin, si le trinôme, sans pouvoir changer de signe, peut cependant s'annuler pour certaines valeurs de a, pour ces valeurs, le signe de l'expression (1) dépend de celui de e qui reste inconnu et l'on ne peut rien conclure.

Les caractères analyticiues particuliers à ces trois cas sont faciles à indiquer :

Supposons A différent de zéro. Le trinôme peut se mettre sous forme de fraction, comme il suit :

(A sin g + B cos a)^ + (AC — W) cos^ a A

I'') Si AC — B^ > 0, le numérateur de cette fraction est une somme de deux carrés qui ne peuvent s'annuler ensemble et il est toujours positif. Donc le trinôme ne peut s'annuler et a le signe de A. Il y a maxime si A < 0 et minime si A > 0.

2*^) Si AC — B^ < 0, le numérateur a des signes différents dans les hypothèses cos a = 0 et tg a --= — B : A, le trinôme change de signe et il n'y a ni maxime ni minime.

3°) Si AC — B^ -= 0, le numérateur se réduit à un seul carré, le trinôme, sans changer de signe, peut s'annuler. C'est le cas douteux.

Supposons encore que A soit nul. Le trinôme se réduit à

cosa (2B sin a -f C cos a).

Si B n'est pas nul, cette expression change de signe avec cosa supposé infiniment petit, et il n'y a ni maxime ni minime. Enfin, si A et B sont nuls tous les deux, le trinôme se réduit

l62 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

à C cos-a, qui peut s'annuler mais ne peut changer de signe. C'est encore une fois le cas douteux.

Cette théorie ne suppose pas la continuité des dérivées secondes ni même leur existence aux environs du point (a, b).

Remarque. — C'est uniquement pour rendre la discussion plus claire qu'on a remplacé h et A* par rsina et rcosa, mais cette substitution n'est pas nécessaire. Le raisonnement peut se faire directement sur le trinôme

A /i^ + 2 B AA- + C A-',

c'est-à-dire sur l'ensemble des termes du second ordre de la formule de Taylor, et les résultats obtenus peuvent se résumer comme il suit :

1° Il n'y a ni maxime ni minime si les racines de ce trinôme sont réelles et inégales ;

2° Il y a extrême si les racines sont imaginaires : maxime si A est < 0, minime si A est > 0 ;

3° Doute, si les racines sont égales.

Pour trancher le cas douteux, il faut faire intervenir des termes d'ordre plus élevé, mais la discussion générale est assez dfficile et ne peut trouver place ici.

167. Fonctions de plusieurs variables. — Une méthode semblable s'applique aux fonctions de trois et d'un plus grand nombre de variables. Pour que f(x, y, z) soit extrémée au point (a, b, c), il faut, dans l'hypothèse la différentiabilité, que ses trois dérivées partielles f'^, f , f'^ s'annulent en ce point, ou, ce qui revient au même, que sa différentielle totale df soit identiquement nulle. En exprimant que ces conditions sont satisfaites, on obtient un système d'équations simultanées dont les solutions peuvent fournir des extrêmes. Pour s'en assurer, on remplace ;x;, y, z par a -\- h, 5 -j- A, c + / et l'on calcule d^f, c'est-à-dire l'ensemble des termes du 2'' ordre en h, k, l. Ce sera an polynôme homogène du second degré, qui devra avoir un signe unique. On le transforme donc en une somme algébrique de carrés : i'' Si tous ces carrés ne sont pas de même signe, il n'y a pas d'extrémé ; 2° s'ils sont tous de même signe, il y a minime s'ils sont positifs et maxime s'ils sont négatifs, pourvu qu'ils ne puissent s'annuler en môme temps que pour h == A =- / == 0 ;

EXTRÊMES LIBRES i63

3" si tous les carrés sont de même signe mais peuvent s'annuler ensemble, le doute subsiste.

168. Problème. — Trouver la plus courte disUmce de deux droites A et B de l'espace.

Soient a,, a,, a-^ les coordonnées d'un point a de la droite A, et ai, itj, ag les cosinus directeurs de cette droite ; les coordonnées X, y, z d'un point quelconque de cette même droite peuvent s'exprimer au moyen d'une variable indépendante u par les formules :

( \\ •^' — ^1 .^* — a^ 5 — ag

«1 ~ «2 ~ ay ~ "*

De mêmes, les coordonnées ^, ■/], l, d'un point quelconque de la droite B s'exprimeront en fonction d'une seconde variable indépendante v par les formules :

où bi, 62, 63 sont les coordonnées d'un point ^ et [i,, p^, (3-j les cosinus directeurs de la droite B.

Soit 8 la distance de deux points (.v, y, z) et (^, yi, Q pris sur chacune des droites A et B. On a

(1) 6^ = {^-xy + (r,-yr + {^-zr.

C'est une fonction de u et de v en vertu des équations (A) et (B) et il faut en chercher le minime. Pour cela, il faut annuler ses deux dérivées partielles. En se servant des relations :

f ç — x = ^,0 — ajH 4- (b, — a,),

(2) n - y - flj^ - y-oU -r {b, - a,),

et en appliquant la règle de dérivation des fonctions de fonctions, on trouve ainsi

Ces équations sont susceptibles d'une interprétation géométrique immédiate. En effet, désignons par t,, Tj, t.. les cosinus

l64 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

directeui'H de la plus courte distance o des deux droites ; on a

(4) ^ .V = §7], Tl — y -- OTg, Z, — Z = OT3,

et les équations (3) peuvent s'écrire

Elles expriment donc que la plus courte distance est une perpendiculaire commune aux deux droites A et B. Les cosinus directeurs de la plus courte distance sont fournis par ces dernières équations. En effet, si l'on pose, en abrégé,

il vient

T, -T, T3 y^2:^:7^Yr

La valeur de la plus courte distance elle-même s'en déduit aussi ; car, en additionnant les équations (4) multipliées respectivement par T,, -:,, T3, il vient

puis, en remplaçant les parenthèses par leurs valeurs (2) et en tenant compte des équations (5) et (7), on trouve

(8) Z -^ T, {b, - aO + T, {b, - a,) + T3 {b, - a,) T , {b, - aQ + 1\ {b, - a j + T3 {b, - a,)

VT?-f TI+T3

Enfin, il reste encore à trouver les valeurs de 11 et de v correspondant aux extrémités de la plus courte distance. Pour cela, on remplace dans les équations (3) les parenthèses par les valeurs (2) et l'on trouve, par les propriétés des cosinus directeurs d'une droite, les deux équations suivantes :

( — c — =^ Il — V cos (A, B) — p = 0,

( ~ V^ ^ " ^^.'' ^^' B) - y — fi = 0, où l'on a posé, en abrégé,

j P = (^1— «i)»! + (^2 — aja, + (i'3 — a3)a3, ( q^{b,-a,)[\-V{b,-a.;)^,-\-{b,-a,)[i,.

EXTRÊMES LIBRES l65

On en tire

^^"^ "" sin^(A,B) ' sin2(A,B) '

ce qui achève la solution du problème.

Remarque. — On vérifie facilement que la solution précédente satisfait aux conditions analytiques d'un minime. En effet, on tire des équations (9)

— 2 cos (A, B), — "

dii^ "' diidv ^ dv-

Donc la quantité représentée par AC — B- dans la théorie générale est égale à 4 si"^ (A., B). Elle est positive, et il y a minime parce que la quantité A est positive.

Exercices.