f{x, y)===x- — 2xy~ +v'^ — J

R. Une solution : .r = 0, v = 0 (cas douteux). Comme la fonction peut se mettre sous la forme {x — y-)- — v"', on voit facilement qu'd n'y a pas d'extrémé.

On remarquera que cependant la fonction fijii, kt) de t seul est maximée pour ^ = 0 quels que soient les coefficients h et k. Cet exemple prouve donc, contrairement à l'affirmation de certains auteurs, que l'existence d'un extrême de /(a -\- ht,b -\- kt) pour i = 0 quels que soient h et k, n'entraîne pas l'existence d'un extrême def{x,y) au point {a, b).

4. Etant donné un triangle, trouver dans le plan du triangle un point O tel que la somme des carrés de ses distances aux trois sommets soit minimêe.

R. Soient (ai, bi), {a.,, b.J, («3, èg) les coordonnées rectangulaires des trois sommets, {x, y) celles du point O, On trouve

3 X = Ui -[- a., -{- a-i, 3 y = &i + ^2 + ^3-

Le point O est le centre de gravité du triangle.

5. Etant donné un triangle, trouver dans le plan de ce triangle un point O tel que la somme de ses distances aux trois sommets soit minimêe.

R. Conservant les notations précédentes, il faut minimer

i66 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

f{x, j) == S V {X - a,Y + (.V - hi) {i=i, 2, 3).

Soient ri, rg, rg les droites joignant le point O aux trois sommets, et Oi, Oo, 0.j leurs angles avec l'axe des x. On a, si les dérivées partielles s'annulent,

^ = cos f)i -1- cns Oo -f- cos O.j = 0.

L'axe des v étant quelconque, on en conclut que les trois droites fu ^1, ^-.i font entre elles le même angle. Le minime a lieu au point où les trois côtés du triangle sont vus sous le même angle (120°). Ce point est facile à construire si les trois angles du triangle sont < 1200. Mais si l'un des angles, A par exemple, est > 120°, ce point n'existe plus. On montrera que, dans ce cas, le mmimé a lieu quand le point O vient coïncider avec le sommet A du triangle. C'est un exemple remarquable oii l'extrême correspond à un point de discontinuité des dérivées.