CHAPITRE TV
Fonctions implicites. Changement de variables.
^s 1 . Théorèmes d'existences.
Les fonctions implicites sont celles qni sont définies par des équations non résolues. Nous commencerons par démontrer les théorèmes fondamentaux sur les conditions d'existence de ces fonctions. Il en résultera que les équations différent tables ne définissent que des fonctions différentiables.
169. Théorème I. — Soit F (h, x, y,...) une fonction continue des variables u, x, y,... Supposons qu'en un point particulier M(«oj a, b,...), la fonction F soit : i" nulle, 2° différentiable, 3° douée d'une dérivée F^ non nulle. Alors il existe au moins une fonction u = o {x, y,...) qui se réduit à Uq au point {a, b,...) et qui, dans son voisinage, satisfait identiquement à l'équation
enfin toute fonction u qui possède ces deux propriétés est différentiable (donc continue) en ce même point (Young),
Il suffira de considérer trois variables u, x, y. Puisque F est nulle au point M et que F^ ne l'est pas, on peut d'abord se donner un ô positif assez petit pour que
F (ho — 3, a, b) et F (Uo + 0, a, b)
soient de signes contraires, car F est une fonction croissante ou décroissante de u au point Uq. Ensuite, puisque F est continue, on peut se donner un S' positif assez petit poui- que les quantités, aussi voisines qu'on veut des précédentes,
F (Uo — S, X, y) et F («o + 0, x, y) soient aussi de signes contraires sous la condition que \ x — a \ et \ y — b \ soient < 8'.
l68 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT i)E VARIABLES
Ceci fait, donnons nous nn système quelconque .y, y entre ces limites ; F (h, a', 3') est une fonction continue de 11 qui change de signe entre iio — 0 et Wo + 0 et s'annule, par conséquent, dans cet intervalle. Soit 11 = cp (.v, y) la racine (la plus grande s'il y en a plusieurs) : ce sera une solution de F = 0 se réduisant à Uo au point (a, b).
Soient maintenant ^11, àx, ùk\- les accroissements correspondants d'une telle fonction 11 et de x, y à partir du point (a, b). Puisque F est différentiable au point («„, ci, b), on a
A F ^ (F;^^ + £) ^u + (F^, -f e') ^x + (F;, + e")^y = 0, où les 6 tendent vers 0 avec les A et peuvent donc être supposés aussi petits qu'on veut avec 0 et 0'. Nous supposerons 0 et V assez
qui n'est pas nul. Alors
petits pour que les e soient < - F
l'équation précédente montre que Aiz tend vers 0 avec Aa' et A3', donc que la fonction 11 est continue au point (a, b).
Cette équation montre, de plus, que la fonction est différentiable au point (a, b), car on en tire
Ah = - (F;. +OA.v + (F', + e")Ay F.'„-M '
c'est-à-dire
^ll =^ — ^ Aa — -^ A3' 4- e"'AA- + e^^'Ay, ■
où les e tendent encore vers 0 avec les A, donc avec Aa et A3-.
Remarques. — Si Fj, existe et ne s'annule pas au voisinage du point {uo, a, b), la solution u de l'équation F = 0 est unique.
En effet, s'il y en avait deux u et u' , on aurait, contrairement à l'hypothèse, pour une valeur U comprise entre u et u,
0 = F {u, X, y) — F(u', A, y) = {u — u') ¥[^ (U, x, y) fL (U, x, y) = 0.
Si, de })lus, F est différentiable aux environs du point {u^, a, b), la fonction u est différentiable au voisinage de (a, b), car la démonstration précédente s'applique en chaque point (u, x, y).
170, Théorème II. — Soient n fonctions F,, Fo,... Vu des m -\- n variables x, y,... u, v, w,... Supposons qu'en un point
THEOREMES D EXISTENCE
M (a, b,... »„. y„, w,„...), les fonctions F soient : i" nulles, 2'- différentiiibles, 3'- telles que le déterminant
dF^ d¥, dF,
du dv dw '"
dF^ dF^ dF^
du dv ôw
dFn dFn dFn
du du dw
ne s'annule pas au point M, Alors il existe au moins un système de fonctions u, v, w,... des m variables x, y,... se réduisant à Uo, Vo, w^,... au point a, b,... et satisfaisant identiquement aux équations Fj -- 0, F, = 0,... F„= 0 aux environs de ce point. Ensuite tout système de fonctions de x, y,... possédant ces deux propriétés est différentiable au point {a, b,...). Enfin, si les dérivées partielles qui composent le déterminant ,1 sont des fonctions continues de x, y,... u, v, w,,.. au point M, J ne 'annule pas au voisinage de M et le système de ces solutions u, v, lu,... est unique (Joung).
Ce théorème se réduit au précédent quand il n'y a qu'une seule équation. Pour l'établir en général, admettons qu'il ait été déjà établi pour n — i équations et montrons qu'il subsiste pour n.
Désignons par J,, J^,... Jn les mineurs relatifs aux éléments de la jjremière colonne de J ; on aura
^ du ^ du
H h Jn
du
Comme J ne s'annule pas au point M, il faut que l'un au moins des mineurs ne s'annule pas en ce point et nous pouvons supposer que ce soit Jj. Dans riij^potlièse où les dérivées sont continues au point M, Ji ne s'annulera pas non plus dans les environs de ce point.
Or le théorème est supposé s'appliquer pour (n — i) équations. Donc, Jj étant différent de zéro, il existe un système (unique dans la dernière hypothèse) de {n — i) fonctions :
de m -\- I variables indépendantes x, y,... u, se réduisant à
Vo, Wo,... au point (a, b,... Uo), différentiables eu ce point et satisfaisant identiquement aux n — i équations :
Si l'on substitue ces fonctions dans la relation F, <= f) qui reste seule à vérifier, elle devient
(4) Fi (a-, y,... u, y, AV,...) - <P {x, y,... u) ^ 0.
En vertu du théorème I, il existe au moins une fonction u des 727 variables x, y,... se réduisant à Uo au point a, b,... satisfaisant à l'équation précédente dans le voisinage de ce point et
différentiable, pourvu que y- ne s'annule pas en ce point.
Mais cette condition est réalisée. En effet, on a
du du du du dw du
Multiplions cette relation par .1, et ajoutons membre à membre avec les identités ci-dessous, multipliées respectivement par Jg, Ja,..-, identités qui s'obtiennent en dérivant par rapport à u les relations (3) :
du dv du dw du '' ' r,dF, dF,d\ dF, dW
du^ dv du^ dw du '^"''
Il viendra, par l'équation (1) et les propriétés des mineurs d'un déterminant,
J 1 3— = J , d ou ~ ^ ^ J : J
' du ' du ^
d^ Donc, puisque J et Ji sont différents de zéro, ^- l'est aussi.
Enfin, si les dérivées partielles sont continues au point M,
la solution u est unique, puisque -r- ne s'annulera pas non plus
dans le voisinage du point (a, b,...).
Si l'on substitue dans les équations (2) la fonction u dont l'existence vient d'être établie, on obtient pour u, v, w,... un système de fonctions de x, y,... qui satisfont à toutes les conditions requises dans l'énoncé du théorème.
