FONCTIONS D*UNE VARIABLE REELLE

du point a si son oscillation est nulle à gauche du point a. Si les deux oscillations sont nulles, la fonction est continue au point a.

La fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, /)) si elle est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, à droite du point a et à gauche du point b.

Elle est continue dans le voisinage du point a, si elle l'est dans l'intervalle (a — s, a + e) à partir d'une valeur positive suffisamment petite de e.

Si la fonction f{x) n'est pas continue pour .y = a ou dans l'intervalle (a, b), elle est discontinue au point a ou dans l'intervalle (a, b). — Si elle est discontinue au point a, celui-ci est un point de discontinuité.

25. Continuité des fonctions composées. — I. La somme, le produit le quotient de deux fonctions continues au point a ou dans l'intervalle (a, b), sont des fonctions continues en ce point ou dans cet intervalle, à moins qu'une fonction prise comme diviseur ne s'annule.

Ces théorèmes résultent immédiatement des principes correspondants de la théorie des limites (n° i8). Démontrons, par exemple, le dernier. Soient f{x) et F (.v) deux fonctions continues au point a; si F (a) n'est pas nul et si a- tend vers a, la limite du quotient f{x) : F{x) sera égale au quotient des limites f(a) : F (a). Donc f{x) est continue au point a. En second lieu, si f{x) et F(a') sont continues dans l'intervalle (a, b) et que F (x) ne s'annule pas dans cet intervalle, le quotient /(.y) : F (.y) sera continu pour toutes les valeurs de .y, donc dans l'intervalle (a, b).

II. Soient u = f{x) et y = F(ii) ; si /"(.y) est continue pour 3t = a et F(u) continue pour u = /'(a), y sera fonction continue de X au point de a.

On a, en effet, .y tendant vers a.

lim F[/-(.Y) = F[lim f{x)] = F[f{a)].

Nous concluons de là que les fonctions composées par addition, multiplication, division ou superposition du signe fonctionnel ne peuvent être discontinues que si l'une des fonctions composantes est discontinue ou si l'une des fonctions prises comme diviseur s'annule.

26. Théorème. — Soit s un nombre positif ; s'il est impossible, en intercalant un nombre convenable de points de subdivision entre a et b, de partager l'intervalle (a, b) en intervalles consécutifs, de telle sorte que l'oscillation de f{x) soit < e dans chacune de ces parties consécutives, il existe dans i intervalle {a, b) un point au moins où l'oscillation de f{x) est 5? e. Ce point peut être a ou b, mais c'est alors l'oscillation ù droite du point a ou celle à gauche du point b qui sera e.

Admettons que l'impossibilité supposée dans cet énoncé ait lieu pour l'intervalle (a, b) et partageons cet intervalle en deux autres par son point milieu. L'impossibilité subsistera dans l'une au moins de ces deux parties, sinon elle n'existerait pas dans l'intervalle total. Soit (a^, b^) celle des deux moitiés dans lacxuelle l'impossibilité subsiste, ou l'une quelconque des deux moitiés si l'impossibilité subsiste dans toutes les deux. Partageons de même (a,, b{\ en deux parties égales et désignons par (a,, b.^ l'une des deux moitiés dans laquelle l'impossibilité subsiste encore. Partageons {a.^, b.^) en parties égales et continuons ainsi de suite. Xous formerons deux suites de nombres ai, aj,.. an,., et b^, b^,.. bn,.. l'une statiounaire ou croissante, l'autre stationnaire ou décroissante, et tendant vers la même limite c, puisque b,i — an ^ {b — a) : 2" a pour limite 0. Le point c appartient donc à un intervalle (a,î , bn ) aussi petit que l'on veut et intérieur à (a, b) dans lequel l'oscillation de f{x) est ^ £. Donc l'oscillation au point c est ^ e. Enfin, si c coïncide avec a ou avec b, l'oscillation se détermine en ne tenant compte que des valeurs de f{x) à droite de a ou à gauche de b, ce qui achève la démonstration du théorème.

27. Propriétés des fonctions continues d'une variable. — I. Si la fonction f{x) est continue au point a et ne s'annule pas en ce jjoint, elle sera de même signe que f{a) dans l'intervalle (a — 5, a + ô), pourvu qu'on choisisse 0 suffisamment petit.

En effet, f{x) ayant pour limite f{a) quand a- tend vers a, on peut choisir 0 assez petitpour que f{x) soit plus rapproché de f{a) que ne l'est 0, sous la condition | .v — a \ < 0. Cela fait, f{x) aura le signe de /\a) dans l'intervalle (a — 0, a + 8).

IL Si f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), elle est bornée supérieurement et inférieurement dans cet intervalle.

FONCTIONS d'une VARIABLE REELLE 25

Ce théorème est une conséquence immédiate de celui du n"^ 26. Puisque f{x) n'a pas de discontinuité dans l'intervalle (a, b), on peut, le nombre positif s étant donné, trouver un mode de division de cet intervalle en parties telles que l'oscillation de f{x) soit ^ e dans chacune d'elles. Soit n le nombre de ces parties ; la fonction /"(a-) restera comprise entre /'(a) — ne et f{a) + nt.

III. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), ses bornes supérieure et inférieure sont toujours accessibles, c'est-à-dire qu'il existe toujours au moins deux valeurs de x dans l'intervalle (a, b) qui donnent respectivement à f{x) ses plus grande et plus petite valeurs M et m (AVeierstrass).

Faisons la démonstration pour la borne M. A cet effet, considérons la fonction continue, non négative, M — f[x)- Cette fonction peut décroître en dessous de tout nombre positif e, puisque f{x) peut surpasser tout nombre inférieur à M. Donc la fonction i : [M — f{^)\ peut surpasser tout nombre assignable et elle n'est pas bornée dans l'intervalle (a, b). Par conséquent, cette nouvelle fonction est discontinue (II), ce qui n'a lieu (n° 25) que si M — f{x) s'annule dans l'intervalle (a, b) .

IV. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) et qu'on divise cet intervalle en intervalles partiels consécutifs, à tout nombre positif 2t, si petit qu'il soit, correspond un nombre S tel que l'oscillation de f{x) dans chaque intervalle partiel soit inférieure à 22, pourvu que V amplitude de chaque intervalle partiel soit inférieure à 8. (Cantor).

En effet, on peut trouver un premier mode de décomposition, tel que l'oscillation de f{x) soit inférieure à e dans chaque intervalle partiel, sinon la fonction aurait une oscillation > e en un XJoint de l'intervalle (a, b) et ne serait pas continue (n° 26). Soit 5 l'étendue du plus petit de ces intervalles. Si l'on considère un autre mode de subdivision en intervalles < S, un intervalle de ce second mode de subdivision ne pourra empiéter sur plus de deux intervalles du premier mode. Donc l'oscillation de la fonction dans cet intervalle ne supassera pas la somme des oscillations de f{x) dans deux intervalles du premier mode. Elle restera, par conséquent, inférieure à e -f e = 26.

On énonce souvent ce théorème en disant qu'une fonction continue dans un intervalle (n. h) l'est uniformément dans cet intervalle.

V. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) et si f{a) et f(b) sont de signes contraires, f{x) s'annule pour une valeur E de x comprise entre a et b.

Marquons entre a et b une suite de points consécutifs assez rapprochés pour que la variation de f{x) soit < e d'un point au suivant, ce qui est possible quelque petit que soit e (lY). Si la fonction ne s'annule pas en l'un de ces points, elle change de signe entre deux points consécutifs où sa valeur absolue sera < £. Donc I : f{x) surpasse i : e en valeur absolue quelque petit que soit e, et cette fonction n'est pas bornée ni continue, ce qui n'a lieu (25) que si f{x) s'annule dans l'intervalle (a, b).

VI. Si la fonction f{x) est continue dans (a, b), elle prend, dans cet intervalle, toute valeur comprise entre f{a) et f{b).

En effet, soit A une quantité comprise entre ces deux valeurs ; la fonction continue f{x) — A, prenant des valeurs de signes contraires pour .v == a et .v = b, s'annule en un point intermédiaire ^ et l'on a, par conséquent, f(^) = A.

On énonce cette propriété en disant qu'une fonction continue dans un intervalle (a, b) ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Exercices.

1. Soit X une valeur positive et [x\ le plus grand entier contenu dans X. On considère la fonction x — [x]. Prouver : 1°) qu'elle est discontinue pour les valeurs entières de x et continue pour les autres valeurs; 2°) que sa borne inférieure est 0 et sa borne supérieure i, dans tout intervalle comprenant un nombre entier; 3°) que cette borne inférieure est accessible et cette borne supérieure inaccessible.

2. La fonction sin - est définie, sauf peur at ^ 0 ; on lui donne, pour

compléter sa définition, la valeur 0 pour ;t = 0. Prouver : 1°) que cette fonction est discontinue pour ;i; = 0 et que son oscillation en chaque point est égale à 2 ; 2°) que cependant, dans tout intervalle comprenant le point 0, la fonction ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.